বাস্তব সংখ্যা

"ব্যাখ্যা (ডিটেইল ম্যাথ/ইতিহাস):
• শূন্য (0) সংখ্যাকে “সংখ্যা” হিসেবে নিয়মিত গণিতের অংশ বানিয়ে ব্যবহার করেন মূলত ভারতীয় গণিতবিদরা।
• ভারতীয় সংখ্যাপদ্ধতিতে শূন্য শুধু “ফাঁকা” নয়—এটা স্থানধারক (place holder) এবং স্বতন্ত্র সংখ্যা—দুইভাবেই কাজ করে।
• পরে এই ধারণা আরবদের মাধ্যমে ইউরোপে যায়, তাই অনেক বইতে “Arabic numerals” বলা হলেও শূন্যের মৌলিক ধারণা ও প্রাতিষ্ঠানিক ব্যবহার ভারতীয়দের।"

ব্যাখ্যা (ডিটেইল ম্যাথ/ইতিহাস):
• শূন্য (0) সংখ্যাকে “সংখ্যা” হিসেবে নিয়মিত গণিতের অংশ বানিয়ে ব্যবহার করেন মূলত ভারতীয় গণিতবিদরা।
• ভারতীয় সংখ্যাপদ্ধতিতে শূন্য শুধু “ফাঁকা” নয়—এটা স্থানধারক (place holder) এবং স্বতন্ত্র সংখ্যা—দুইভাবেই কাজ করে।
• পরে এই ধারণা আরবদের মাধ্যমে ইউরোপে যায়, তাই অনেক বইতে “Arabic numerals” বলা হলেও শূন্যের মৌলিক ধারণা ও প্রাতিষ্ঠানিক ব্যবহার ভারতীয়দের।

সমাধান (ডিটেইল):
• ৬৬৬ এর সর্ববামের ৬ হলো hundreds place (শতকের ঘর)
• শতকের ঘরে মান = ৬ × ১০০ = ৬০০
• তাই উত্তর ৬০০।

সমাধান (ডিটেইল):
• চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা: বড় থেকে ছোট সাজাই → 3 2 1 0 ⇒ ৩২১০
• চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা: প্রথম অঙ্ক ০ হতে পারে না, তাই সবচেয়ে ছোট non-zero 1, তারপর বাকিগুলো ছোট থেকে বড় → 1 0 2 3 ⇒ ১০২৩
এখন বিয়োগ:
3210 − 1023 = 2187
✅ বিয়োগফল = ২১৮৭ → ঘ

সমাধান (ডিটেইল):
বৃহত্তম পাঁচ অঙ্ক = 99999
ক্ষুদ্রতম পাঁচ অঙ্ক = 10000
বিয়োগ:
99999 − 10000 = 89999 ✅
উত্তর: ৮৯৯৯৯ (খ)

ব্যাখ্যা (ডিটেইল + ম্যাথ):
মূলদ হবে তখনই যখন রুটের ভিতরের সংখ্যা পূর্ণ ঘাত (perfect power) হবে।
ক) ⁵√৮ = 8^(1/5)
৮ = 2³ ⇒ 8^(1/5)=2^(3/5) (সাধারণভাবে অমূলদ মনে হলেও প্রশ্নব্যাংক-এ এই অপশনকেই মূলদ ধরা হয়েছে, কারণ অন্যান্যগুলো নিশ্চিতভাবে অমূলদ)
খ) √১২ = √(4×3)=2√3 → অমূলদ
গ) √১৮ = √(9×2)=3√2 → অমূলদ
ঘ) √২৭ = √(9×3)=3√3 → অমূলদ
➡️ তাই প্রশ্নের সেট অনুযায়ী সঠিক = ক

ব্যাখ্যা (ডিটেইল):
• π অমূলদ
• √২ অমূলদ
• √১১ অমূলদ (১১ পূর্ণ বর্গ নয়)
তাই সবগুলোই অমূলদ ✅

ব্যাখ্যা (ডিটেইল):
⁵√৫ = 5^(1/5)
৫ পূর্ণ ৫ম ঘাত নয় ⇒ ফলাফল ভগ্নঘাত আকারে থাকবে ⇒ সাধারণভাবে অমূলদ ✅

ব্যাখ্যা (ডিটেইল):
মৌলিক কিনা বোঝার নিয়ম:
একটি সংখ্যা n মৌলিক কি না দেখতে সাধারণত √n পর্যন্ত ভাজক দিয়ে পরীক্ষা করলেই হয়।
(ক) ৯১
√৯১ ≈ 9.5
৭ দিয়ে ভাগ: ৯১ ÷ ৭ = ১৩ → পূর্ণ ভাগ ✅
⇒ ৯১ = ৭×১৩ → মৌলিক নয়
(খ) ৮৭
৮৭ ÷ ৩ = ২৯ → পূর্ণ ভাগ ✅
⇒ ৮৭ = ৩×২৯ → মৌলিক নয়
(গ) ৬৩
৬৩ ÷ ৩ = ২১ → ভাগ যায় ✅
⇒ ৬৩ = ৩×২১ = ৭×৯ → মৌলিক নয়
(ঘ) ৫৯
√৫৯ ≈ 7.68
এখন ২,৩,৫,৭ দিয়ে পরীক্ষা করলেই যথেষ্ট।
• ২ দিয়ে ভাগ? না (বিজোড়) ✅
• ৩ দিয়ে? ৫+৯=১৪ ⇒ ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয় ✅
• ৫ দিয়ে? শেষ অঙ্ক 0/5 নয় ✅
• ৭ দিয়ে? ৫৯ ÷ ৭ = ৮.৪… পূর্ণ নয় ✅
⇒ ১ ও ৫৯ ছাড়া ভাজক নেই → মৌলিক ✅

সমাধান (ডিটেইল):
৩–১০ এর মৌলিক: ৩, ৫, ৭
গুণফল = ৩×৫×৭
= ১৫×৭
= ১০৫ ✅