বাস্তব সংখ্যা

"ব্যাখ্যা (ডিটেইল ম্যাথ/ইতিহাস):
• শূন্য (0) সংখ্যাকে “সংখ্যা” হিসেবে নিয়মিত গণিতের অংশ বানিয়ে ব্যবহার করেন মূলত ভারতীয় গণিতবিদরা।
• ভারতীয় সংখ্যাপদ্ধতিতে শূন্য শুধু “ফাঁকা” নয়—এটা স্থানধারক (place holder) এবং স্বতন্ত্র সংখ্যা—দুইভাবেই কাজ করে।
• পরে এই ধারণা আরবদের মাধ্যমে ইউরোপে যায়, তাই অনেক বইতে “Arabic numerals” বলা হলেও শূন্যের মৌলিক ধারণা ও প্রাতিষ্ঠানিক ব্যবহার ভারতীয়দের।"

উত্তর: গ
◈ সঠিক উত্তর: গ. ১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ অঙ্কের স্থানীয় মান: সংখ্যার কোনো অঙ্কের মান তার অবস্থানের ওপর নির্ভর করে। যেমন ৩২১০-এ ৩-এর স্থানীয় মান ৩০০০, ২-এর ২০০ এবং ১-এর ১০।
❖ সংখ্যা গঠনের নিয়ম: নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা করতে বড় থেকে ছোট এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা করতে প্রথমে সবচেয়ে ছোট অশূন্য অঙ্ক, পরে শূন্য ও অবশিষ্ট অঙ্ক সাজাতে হয়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা ১০০০০; চার অঙ্কের বৃহত্তম ৯৯৯৯। অঙ্কের সংখ্যার সীমানা থেকে ঠিক পরের সংখ্যা শুরু হয়।
❖ কেন এভাবে সমাধান: ১০০০০ থেকে ১ বিয়োগ করলেই ৯৯৯৯ পাওয়া যায়; তাই দুটি পরপর পূর্ণসংখ্যার অন্তর ১।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা ১০০০০; চার অঙ্কের বৃহত্তম ৯৯৯৯। অঙ্কের সংখ্যার সীমানা থেকে ঠিক পরের সংখ্যা শুরু হয়।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: অন্তর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (মান অনুযায়ী)।
➤ পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০।
⇒ চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯।
⇒ অন্তর = ১০০০০ - ৯৯৯৯ = ১।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: ১০০০০ থেকে ১ বিয়োগ করলেই ৯৯৯৯ পাওয়া যায়; তাই দুটি পরপর পূর্ণসংখ্যার অন্তর ১।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: গ. ১।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: অন্তর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (মান অনুযায়ী)।
➤ স্থানীয় মান: ৪৩২১ = ৪০০০+৩০০+২০+১।
➤ পরীক্ষা: ০-কে প্রথমে রেখে ০১২৩ লিখলে প্রকৃত চার অঙ্কের সংখ্যা হয় না।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: ১০০০০ থেকে ১ বিয়োগ করলেই ৯৯৯৯ পাওয়া যায়; তাই দুটি পরপর পূর্ণসংখ্যার অন্তর ১।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: পরপর দুই ঘরের সীমানার সংখ্যা ১০০০... ও ৯৯৯...-এর ব্যবধান সব সময় ১।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সংখ্যা ১০০০০; চার অঙ্কের বৃহত্তম ৯৯৯৯। অঙ্কের সংখ্যার সীমানা থেকে ঠিক পরের সংখ্যা শুরু হয়।

উত্তর: ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ঘ. ৪১৮৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ সংখ্যা গঠনের নিয়ম: নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা করতে বড় থেকে ছোট এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা করতে প্রথমে সবচেয়ে ছোট অশূন্য অঙ্ক, পরে শূন্য ও অবশিষ্ট অঙ্ক সাজাতে হয়।
❖ বিন্যাস ও গড়: অঙ্কের প্রতিটি বিন্যাসে তৈরি সংখ্যা আলাদা। দুটি সংখ্যার গড় তাদের যোগফলের অর্ধেক, কিন্তু ব্যবধান বড়টি থেকে ছোটটি বিয়োগ করে পাওয়া যায়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: বৃহত্তম ৫২১০ এবং ক্ষুদ্রতম ১০২৫; ০ দিয়ে চার অঙ্কের সংখ্যা শুরু করা যায় না।
❖ কেন এভাবে সমাধান: বিয়োগ: ৫২১০−১০২৫=৪১৮৫। যাচাই: ১০২৫+৪১৮৫=৫২১০।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: বৃহত্তম ৫২১০ এবং ক্ষুদ্রতম ১০২৫; ০ দিয়ে চার অঙ্কের সংখ্যা শুরু করা যায় না।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: বৃহত্তম বিন্যাসে অবরোহ অঙ্ক; ক্ষুদ্রতম চার অঙ্কে প্রথমে সর্বনিম্ন অশূন্য অঙ্ক।
➤ বৃহত্তম সংখ্যা = ৫২১০।
⇒ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৫।
⇒ পার্থক্য = ৫২১০ - ১০২৫ = ৪১৮৫।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: বিয়োগ: ৫২১০−১০২৫=৪১৮৫। যাচাই: ১০২৫+৪১৮৫=৫২১০।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ঘ. ৪১৮৫।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: বৃহত্তম বিন্যাসে অবরোহ অঙ্ক; ক্ষুদ্রতম চার অঙ্কে প্রথমে সর্বনিম্ন অশূন্য অঙ্ক।
➤ স্থানীয় মান: ৪৩২১ = ৪০০০+৩০০+২০+১।
➤ পরীক্ষা: ০-কে প্রথমে রেখে ০১২৩ লিখলে প্রকৃত চার অঙ্কের সংখ্যা হয় না।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: বিয়োগ: ৫২১০−১০২৫=৪১৮৫। যাচাই: ১০২৫+৪১৮৫=৫২১০।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: ৫২১০ - ১০২৫ = ৪১৮৫; অঙ্কের বিন্যাস আগে সঠিক করো।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: বৃহত্তম ৫২১০ এবং ক্ষুদ্রতম ১০২৫; ০ দিয়ে চার অঙ্কের সংখ্যা শুরু করা যায় না।

উত্তর: ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ঘ. ২০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ অঙ্কের স্থানীয় মান: সংখ্যার কোনো অঙ্কের মান তার অবস্থানের ওপর নির্ভর করে। যেমন ৩২১০-এ ৩-এর স্থানীয় মান ৩০০০, ২-এর ২০০ এবং ১-এর ১০।
❖ সংখ্যা গঠনের নিয়ম: নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে বৃহত্তম সংখ্যা করতে বড় থেকে ছোট এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা করতে প্রথমে সবচেয়ে ছোট অশূন্য অঙ্ক, পরে শূন্য ও অবশিষ্ট অঙ্ক সাজাতে হয়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: এককের ঘরে ৯ আসে ১০ বার; দশকের ঘরে ৯ আসে ৯০–৯৯-তে ১০ বার।
❖ কেন এভাবে সমাধান: ৯৯-তে দুটি ৯ আছে; ফলে সংখ্যাটিকে একবার নয়, দুই অঙ্ক হিসেবে গুনতে হয়। মোট ২০।
❖ অঙ্ক গণনার বিশেষ নিয়ম: একই সংখ্যায় কাঙ্ক্ষিত অঙ্কটি দুই ঘরে থাকলে দুটি ব্যবহার ধরতে হবে। যেমন ৫৫-এ দুটি ৫ এবং ৯৯-এ দুটি ৯ রয়েছে।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: এককের ঘরে ৯ আসে ১০ বার; দশকের ঘরে ৯ আসে ৯০–৯৯-তে ১০ বার।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: ১ থেকে ১০০-এ ১–৯ অঙ্কের প্রত্যেকটি ২০ বার।
➤ এককের স্থানে ৯: ৯, ১৯, ..., ৯৯ → ১০ বার।
⇒ দশকের স্থানে ৯: ৯০, ৯১, ..., ৯৯ → ১০ বার।
⇒ ৯৯ সংখ্যায় দুটি ৯ আছে, তাই দুই বার ধরা হয়।
⇒ সর্বমোট = ১০ + ১০ = ২০ বার।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: ৯৯-তে দুটি ৯ আছে; ফলে সংখ্যাটিকে একবার নয়, দুই অঙ্ক হিসেবে গুনতে হয়। মোট ২০।
⇒ এককের ঘরে ৯ আসে ১০ বার এবং দশকের ঘরে ৯ আসে ১০ বার।
⇒ ৯৯-এ অঙ্কটি দুবার উপস্থিত; তাই মোট গণনায় দ্বিগুণ হওয়া স্বাভাবিক।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ঘ. ২০।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: ১ থেকে ১০০-এ ১–৯ অঙ্কের প্রত্যেকটি ২০ বার।
➤ স্থানীয় মান: ৪৩২১ = ৪০০০+৩০০+২০+১।
➤ পরীক্ষা: ০-কে প্রথমে রেখে ০১২৩ লিখলে প্রকৃত চার অঙ্কের সংখ্যা হয় না।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: ৯৯-তে দুটি ৯ আছে; ফলে সংখ্যাটিকে একবার নয়, দুই অঙ্ক হিসেবে গুনতে হয়। মোট ২০।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: দুই ঘরেই ৯-এর ১০টি করে উপস্থিতি; ১০+১০=২০।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: এককের ঘরে ৯ আসে ১০ বার; দশকের ঘরে ৯ আসে ৯০–৯৯-তে ১০ বার।

উত্তর: ক
◈ সঠিক উত্তর: ক. অমূলদ
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ বর্গমূলের শ্রেণি: পূর্ণবর্গ সংখ্যা ২৫-এর বর্গমূল ৫ মূলদ। ১৭-এর মতো অপূর্ণবর্গ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল অমূলদ।
❖ মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা: যে বাস্তব সংখ্যা p/q আকারে লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ ০, তাকে মূলদ বলে। যেমন ৩/২, ০.৩, ৫।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: প্রথমে √২৮৯=১৭, কারণ ১৭×১৭=২৮৯।
❖ কেন এভাবে সমাধান: তারপর প্রাপ্ত ১৭-এর বর্গমূল নিতে হবে: √১৭। ১৭ পূর্ণবর্গ নয় বলে √১৭ অমূলদ; শুধু √২৮৯=১৭ বলে থেমে গেলে ভুল হবে।
❖ প্রধান সতর্কতা: প্রশ্নে √২৮৯ সংখ্যাটির *আরও একটি বর্গমূল* চাওয়া হয়েছে। √২৮৯=১৭, কিন্তু ১৭-এর বর্গমূল √১৭।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: প্রথমে √২৮৯=১৭, কারণ ১৭×১৭=২৮৯।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: √(√n)=n^(1/4); ভিতরের প্রথম বর্গমূল নেওয়ার পর আবার বর্গমূল নেবে।
➤ প্রথমে √২৮৯ = ১৭, কারণ ১৭² = ২৮৯।
⇒ প্রশ্নটি চেয়েছে √২৮৯ সংখ্যার আবার বর্গমূল।
⇒ √(√২৮৯) = √১৭।
⇒ ১৭ পূর্ণবর্গ নয়, তাই √১৭ অমূলদ।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: তারপর প্রাপ্ত ১৭-এর বর্গমূল নিতে হবে: √১৭। ১৭ পূর্ণবর্গ নয় বলে √১৭ অমূলদ; শুধু √২৮৯=১৭ বলে থেমে গেলে ভুল হবে।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ক. অমূলদ।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: √(√n)=n^(1/4); ভিতরের প্রথম বর্গমূল নেওয়ার পর আবার বর্গমূল নেবে।
➤ তুলনা: √৩৬ = ৬ মূলদ, কিন্তু √৩৭ অমূলদ।
➤ নিয়ম: ধনাত্মক ভগ্নাংশ সরল করে লব-হর পূর্ণবর্গ হলে বর্গমূল মূলদ।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: তারপর প্রাপ্ত ১৭-এর বর্গমূল নিতে হবে: √১৭। ১৭ পূর্ণবর্গ নয় বলে √১৭ অমূলদ; শুধু √২৮৯=১৭ বলে থেমে গেলে ভুল হবে।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: দুইবার বর্গমূল: √২৮৯=১৭, তারপর √১৭ → অমূলদ।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: প্রথমে √২৮৯=১৭, কারণ ১৭×১৭=২৮৯।

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: খ. ৬টি
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ গণনার সীমানা: “মধ্যে” শব্দে দুই প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত কি না, এবং প্রথম ও শেষ সংখ্যাটি নিজেই নির্দিষ্ট ভাজকের গুণিতক কি না—তা আলাদা করে বিচার করা জরুরি।
❖ ভাগের পরিভাষা: ভাজ্য হলো যাকে ভাগ করা হয়, ভাজক হলো যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, ভাগফল হলো পূর্ণ ভাগের ফল এবং ভাগশেষ হলো অবশিষ্ট অংশ।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: ৩ ও ৫ উভয়ে বিভাজ্য মানে ১৫ দ্বারা বিভাজ্য, কারণ ল.সা.গু(৩,৫)=১৫।
❖ কেন এভাবে সমাধান: ৫ এবং ৯৫-এর মধ্যে ১৫,৩০,৪৫,৬০,৭৫,৯০—মোট ৬টি।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: ৩ ও ৫ উভয়ে বিভাজ্য মানে ১৫ দ্বারা বিভাজ্য, কারণ ল.সা.গু(৩,৫)=১৫।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: একই সঙ্গে ৫ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য ⇔ ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।
➤ ৫ ও ৩-এর ল.সা.গু = ১৫।
⇒ ৫-এর বেশি এবং ৯৫-এর কম ১৫-এর গুণিতক: ১৫,৩০,৪৫,৬০,৭৫,৯০।
⇒ মোট = ৬টি।
⇒ ৯৫ নিজে ১৫ দ্বারা বিভাজ্য নয়; সীমা অন্তর্ভুক্ত করলেও ফল অপরিবর্তিত।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: ৫ এবং ৯৫-এর মধ্যে ১৫,৩০,৪৫,৬০,৭৫,৯০—মোট ৬টি।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: খ. ৬টি।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: একই সঙ্গে ৫ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য ⇔ ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।
➤ ভাগসূত্র: ভাজ্য = ভাজক×ভাগফল + ভাগশেষ।
➤ মনে রাখুন: ভাগশেষের মান সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যায়)।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: ৫ এবং ৯৫-এর মধ্যে ১৫,৩০,৪৫,৬০,৭৫,৯০—মোট ৬টি।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: ১৫×১ থেকে ১৫×৬ পর্যন্ত মোট ৬টি।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: ৩ ও ৫ উভয়ে বিভাজ্য মানে ১৫ দ্বারা বিভাজ্য, কারণ ল.সা.গু(৩,৫)=১৫।

উত্তর: ক
◈ সঠিক উত্তর: ক. ০.০২৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ গণনার সীমানা: “মধ্যে” শব্দে দুই প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত কি না, এবং প্রথম ও শেষ সংখ্যাটি নিজেই নির্দিষ্ট ভাজকের গুণিতক কি না—তা আলাদা করে বিচার করা জরুরি।
❖ ভাগের পরিভাষা: ভাজ্য হলো যাকে ভাগ করা হয়, ভাজক হলো যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়, ভাগফল হলো পূর্ণ ভাগের ফল এবং ভাগশেষ হলো অবশিষ্ট অংশ।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, তাই ভাগফল=০.৫/১০=০.০৫।
❖ কেন এভাবে সমাধান: ভাগশেষ উল্লেখ নেই; শূন্য ধরে ভাজ্য=০.৫×০.০৫=০.০২৫।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, তাই ভাগফল=০.৫/১০=০.০৫।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।
➤ ভাজক = ১০×ভাগফল।
⇒ ভাগফল = ০.৫/১০ = ০.০৫।
⇒ ভাগশেষ শূন্য ধরে ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল।
⇒ ভাজ্য = ০.৫×০.০৫ = ০.০২৫।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: ভাগশেষ উল্লেখ নেই; শূন্য ধরে ভাজ্য=০.৫×০.০৫=০.০২৫।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ক. ০.০২৫।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।
➤ ভাগসূত্র: ভাজ্য = ভাজক×ভাগফল + ভাগশেষ।
➤ মনে রাখুন: ভাগশেষের মান সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যায়)।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: ভাগশেষ উল্লেখ নেই; শূন্য ধরে ভাজ্য=০.৫×০.০৫=০.০২৫।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: ভাজক ০.৫ হলে ভাগফল ০.০৫; গুণ = ০.০২৫।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ, তাই ভাগফল=০.৫/১০=০.০৫।

উত্তর: গ
◈ সঠিক উত্তর: গ. ৫×৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ জোড় সংখ্যা: যে পূর্ণসংখ্যা ২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তার রূপ ২k; এখানে k যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।
❖ বিজোড় সংখ্যা: ২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১ থাকে, এর রূপ ২k+১। বিজোড়ের বর্গ বিজোড় এবং জোড়ের বর্গ জোড়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা হলো ১,৩,৫,৭,৯। যোগ=২৫।
❖ কেন এভাবে সমাধান: সূত্র: প্রথম nটি বিজোড় সংখ্যার যোগ n²; n=৫ হলে ৫²=২৫=৫×৫।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা হলো ১,৩,৫,৭,৯। যোগ=২৫।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: ১+৩+৫+...+(২n-১) = n²।
➤ প্রথম পাঁচটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা ১,৩,৫,৭,৯।
⇒ যোগফল = ১+৩+৫+৭+৯ = ২৫।
⇒ প্রথম nটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = n²।
⇒ ৫² = ২৫।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: সূত্র: প্রথম nটি বিজোড় সংখ্যার যোগ n²; n=৫ হলে ৫²=২৫=৫×৫।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: গ. ৫×৫।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: ১+৩+৫+...+(২n-১) = n²।
➤ সূত্র: জোড় = ২k, বিজোড় = ২k+১।
➤ উদাহরণ: (২k+১)+(২m+১)=২(k+m+১), যা জোড়।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: সূত্র: প্রথম nটি বিজোড় সংখ্যার যোগ n²; n=৫ হলে ৫²=২৫=৫×৫।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: পাঁচটি বিজোড়ের যোগফল = ৫²=২৫।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা হলো ১,৩,৫,৭,৯। যোগ=২৫।

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: খ. ১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ মৌলিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার ধনাত্মক ভাজক ঠিক দুটি—১ ও সংখ্যাটি নিজে। ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
❖ যৌগিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে পূর্ণসংখ্যার ভাজক দুইটির বেশি। ১-এর ভাজক শুধু ১, তাই ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সব জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ২-এর বড় হলে দুইয়ের বেশি ভাজক থাকে।
❖ কেন এভাবে সমাধান: অতএব ১–১০-এর মধ্যে জোড় মৌলিক সংখ্যা ঠিক ১টি।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সব জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ২-এর বড় হলে দুইয়ের বেশি ভাজক থাকে।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
➤ জোড় সংখ্যাগুলো ২,৪,৬,৮,১০।
⇒ ২-এর ধনাত্মক ভাজক ১ ও ২—মোট দুটি, তাই মৌলিক।
⇒ ৪,৬,৮,১০-এর ২ ছাড়াও অন্য ভাজক আছে, তাই যৌগিক।
⇒ জোড় মৌলিক সংখ্যা মাত্র একটি—২।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: অতএব ১–১০-এর মধ্যে জোড় মৌলিক সংখ্যা ঠিক ১টি।
⇒ মৌলিকতা যাচাই: ১-কে মৌলিক ধরবে না; প্রয়োজন হলে √n পর্যন্ত মৌলিক ভাজক দিয়ে ভাগের পরীক্ষা করবে।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: খ. ১।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
➤ মনে রাখুন: ১ মৌলিক নয় এবং ২ একমাত্র জোড় মৌলিক।
➤ গুণনীয়ক: ৩৯ = ৩×১৩, তাই ৩৯ মৌলিক নয়।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: অতএব ১–১০-এর মধ্যে জোড় মৌলিক সংখ্যা ঠিক ১টি।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: জোড় হলেই ২ দিয়ে ভাগ যায়; কেবল ২-ই মৌলিক।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সব জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ২-এর বড় হলে দুইয়ের বেশি ভাজক থাকে।

উত্তর: ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ঘ. ২
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ মৌলিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার ধনাত্মক ভাজক ঠিক দুটি—১ ও সংখ্যাটি নিজে। ২ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
❖ যৌগিক সংখ্যা: ১-এর চেয়ে বড় যে পূর্ণসংখ্যার ভাজক দুইটির বেশি। ১-এর ভাজক শুধু ১, তাই ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়।
❖ প্রশ্নের মূল ধারণা: ২-কে কেবল ১ ও ২ দিয়ে ভাগ করা যায়; তাই এটি মৌলিক।
❖ কেন এভাবে সমাধান: ৯=৩², ৮=২³, ৪=২²; এগুলোর অতিরিক্ত ভাজক রয়েছে।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথমে বুঝি: ২-কে কেবল ১ ও ২ দিয়ে ভাগ করা যায়; তাই এটি মৌলিক।
➤ প্রযোজ্য সূত্র: ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
➤ ২-এর ভাজক শুধু ১ ও ২, তাই মৌলিক।
⇒ ৯=৩×৩; ৮=২³; ৪=২²—সব যৌগিক।
⇒ অতএব একমাত্র মৌলিক ২।
➤ হিসাব যাচাই / অন্যভাবে বোঝা: ৯=৩², ৮=২³, ৪=২²; এগুলোর অতিরিক্ত ভাজক রয়েছে।
⇒ মৌলিকতা যাচাই: ১-কে মৌলিক ধরবে না; প্রয়োজন হলে √n পর্যন্ত মৌলিক ভাজক দিয়ে ভাগের পরীক্ষা করবে।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ঘ. ২।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন
➤ মূল সূত্র: ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
➤ মনে রাখুন: ১ মৌলিক নয় এবং ২ একমাত্র জোড় মৌলিক।
➤ গুণনীয়ক: ৩৯ = ৩×১৩, তাই ৩৯ মৌলিক নয়।
➤ প্রশ্নভিত্তিক মনে রাখুন: ৯=৩², ৮=২³, ৪=২²; এগুলোর অতিরিক্ত ভাজক রয়েছে।
✦ শর্টকাট ম্যাথড
➤ দ্রুত সমাধানের কৌশল: ২ আছে, বাকিগুলো ২ বা ৩-এর ঘাত—উত্তর ২।
⇒ শর্টকাট প্রয়োগের যুক্তি: ২-কে কেবল ১ ও ২ দিয়ে ভাগ করা যায়; তাই এটি মৌলিক।