ল.সা.গু এবং গ.সা.গু

"✔ সঠিক উত্তর: ঘ. ১৮
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে এমন একটি সংখ্যা, যা একই সঙ্গে ৩ ও ৬ উভয়ের গুণিতক।
ধাপ–১: ৩ এর গুণিতক লিখি
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ...
ধাপ–২: ৬ এর গুণিতক লিখি
৬, ১২, ১৮, ২৪, ...
ধাপ–৩: সাধারণ গুণিতক বের করি
দুই তালিকায় একসঙ্গে আছে: ৬, ১২, ১৮, ...
এখন অপশনগুলো দেখি:
• ৩ → ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়
• ৯ → ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়
• ১৫ → ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়
• ১৮ → ৩ এবং ৬ উভয় দ্বারা বিভাজ্য
কেন ১৮ সঠিক?
কারণ ১৮ ÷ ৩ = ৬ এবং ১৮ ÷ ৬ = ৩, অর্থাৎ ১৮ উভয়েরই গুণিতক।
________________________________________"

✔ সঠিক উত্তর: গ. ১২০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
ল.সা.গু (LCM) বের করতে প্রতিটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
ধাপ–১: মৌলিক বিশ্লেষণ
• ৩ = ৩
• ৫ = ৫
• ৬ = ২ × ৩
• ৮ = ২³
ধাপ–২: প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বোচ্চ ঘাত নিই
• ২-এর সর্বোচ্চ ঘাত = ২³
• ৩-এর সর্বোচ্চ ঘাত = ৩
• ৫-এর সর্বোচ্চ ঘাত = ৫
ধাপ–৩: গুণ করি
ল.সা.গু = ২³ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ২৪ × ৫
= ১২০
কেন ১২০ সঠিক?
১২০ এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ৩, ৫, ৬ ও ৮—প্রতিটির দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: ক. ১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রথমে ২০০২-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
ধাপ–১: ২০০২-এর মৌলিক বিশ্লেষণ
২০০২ = ২ × ৭ × ১১ × ১৩
এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি।
________________________________________
ক. ১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩
• ১৩ = ১৩
• ৭৭ = ৭ × ১১
• ৯১ = ৭ × ১৩
• ১৪৩ = ১১ × ১৩
এগুলোর ল.সা.গু = ৭ × ১১ × ১৩ = ১০০১
এখানে ২ নেই, তাই LCM ২০০২ হবে না।
________________________________________
খ. ৭, ২২, ২৬, ৯১
• ৭ = ৭
• ২২ = ২ × ১১
• ২৬ = ২ × ১৩
• ৯১ = ৭ × ১৩
LCM = ২ × ৭ × ১১ × ১৩ = ২০০২
________________________________________
গ. ২৬, ৭৭, ১৪৩, ১৫৪
• ২৬ = ২ × ১৩
• ৭৭ = ৭ × ১১
• ১৪৩ = ১১ × ১৩
• ১৫৪ = ২ × ৭ × ১১
LCM = ২ × ৭ × ১১ × ১৩ = ২০০২
________________________________________
ঘ. ২, ৭, ১১, ১৩
LCM = ২ × ৭ × ১১ × ১৩ = ২০০২
তাই সঠিক উত্তর কেন ক?
কারণ শুধু ক অপশনের সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু ২০০২ নয়; তা ১০০১।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: খ. ৬টি
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
যে সংখ্যা ৫ ও ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তা অবশ্যই ল.সা.গু(৫, ৩) = ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
ধাপ–১: LCM বের করি
ল.সা.গু(৫, ৩) = ১৫
ধাপ–২: ৫ এবং ৯৫ এর মধ্যে ১৫-এর গুণিতক লিখি
১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০
মোট সংখ্যা = ৬টি
কেন ৬টি সঠিক?
কারণ ৫ ও ৯৫ এর মধ্যে এমন সব সংখ্যা ১৫-এর গুণিতক, এবং সেগুলো গণনা করলে ৬টি পাওয়া যায়।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: গ. ৬১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
যদি কোনো সংখ্যা ৪, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবার ১ অবশিষ্ট থাকে, তবে সংখ্যাটি থেকে ১ বাদ দিলে তা ৪, ৫, ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
ধাপ–১: ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু
• ৪ = ২²
• ৫ = ৫
• ৬ = ২ × ৩
LCM = ২² × ৩ × ৫ = ৬০
ধাপ–২: অবশিষ্ট ১ থাকার জন্য
প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ + ১ = ৬১
কেন ৬১ সঠিক?
• ৬১ ÷ ৪ = ভাগশেষ ১
• ৬১ ÷ ৫ = ভাগশেষ ১
• ৬১ ÷ ৬ = ভাগশেষ ১
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: খ. ৭০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
যে সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে ফল ১২, ১৮, ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে, সেই যোগফল অবশ্যই এই তিন সংখ্যার ল.সা.গু হবে বা তার গুণিতক হবে। ক্ষুদ্রতম এমন সংখ্যা বের করাই লক্ষ্য।
ধাপ–১: ১২, ১৮, ২৪-এর ল.সা.গু
• ১২ = ২² × ৩
• ১৮ = ২ × ৩²
• ২৪ = ২³ × ৩
LCM = ২³ × ৩² = ৮ × ৯ = ৭২
ধাপ–২: মূল সংখ্যা
ধরা যাক, সংখ্যা = x
তাহলে x + ২ = ৭২
সুতরাং x = ৭২ - ২ = ৭০
কেন ৭০ সঠিক?
কারণ ৭০-এর সাথে ২ যোগ করলে ৭২ হয়, আর ৭২ সংখ্যাটি ১২, ১৮, ২৪—তিনটির দ্বারাই বিভাজ্য।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: খ. ১৮১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
যদি কোনো সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করলে ফল ৯, ১২, ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে
সংখ্যা - ১ = LCM(৯, ১২, ১৫)
ধাপ–১: ল.সা.গু বের করি
• ৯ = ৩²
• ১২ = ২² × ৩
• ১৫ = ৩ × ৫
LCM = ২² × ৩² × ৫
= ৪ × ৯ × ৫
= ১৮০
ধাপ–২: চাওয়া সংখ্যা
সংখ্যা = ১৮০ + ১ = ১৮১
কেন ১৮১ সঠিক?
কারণ
১৮১ - ১ = ১৮০
এবং ১৮০ সংখ্যা ৯, ১২, ১৫—সবগুলো দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: গ. ১০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
এখন এমন একটি সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে, যাতে ফল ৫, ১০, ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
ধাপ–১: ৫, ১০, ১৫ এর ল.সা.গু
• ৫ = ৫
• ১০ = ২ × ৫
• ১৫ = ৩ × ৫
LCM = ২ × ৩ × ৫ = ৩০
ধাপ–২: ১০০ থেকে কত বিয়োগ করলে ৩০ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
১০০ কে ৩০ দ্বারা ভাগ করলে
৩০ × ৩ = ৯০
অবশিষ্ট = ১০
অতএব ১০০ - ১০ = ৯০, যা ৩০ দ্বারা বিভাজ্য।
তাই বিয়োগ করতে হবে = ১০
কেন ১০ সঠিক?
কারণ ১০০ - ১০ = ৯০, এবং ৯০ সংখ্যাটি ৫, ১০, ১৫—সবগুলো দ্বারা বিভাজ্য।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: গ. ৮০১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
এখন এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করতে হবে, যাতে যোগফল ৬, ৮, ১০ ও ১৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ যোগফল হবে এই সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু-এর গুণিতক।
ধাপ–১: ৬, ৮, ১০, ১৪ এর ল.সা.গু বের করি
• ৬ = ২ × ৩
• ৮ = ২³
• ১০ = ২ × ৫
• ১৪ = ২ × ৭
সুতরাং ল.সা.গু = ২³ × ৩ × ৫ × ৭
= ৮ × ৩ × ৫ × ৭
= ৮৪০
ধাপ–২: ৯৯৯৯৯-কে ৮৪০ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট কত?
৮৪০ × ১১৯ = ৯৯৯৬০
অবশিষ্ট = ৯৯৯৯৯ - ৯৯৯৬০ = ৩৯
অর্থাৎ ৯৯৯৯৯ সংখ্যাটি ৮৪০-এর থেকে ৩৯ বেশি।
ধাপ–৩: পরের ৮৪০-এর গুণিতকে যেতে কত যোগ করতে হবে?
প্রয়োজনীয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮৪০ - ৩৯ = ৮০১
কেন ৮০১ সঠিক?
কারণ
৯৯৯৯৯ + ৮০১ = ১০০৮০০
এবং ১০০৮০০ সংখ্যা ৬, ৮, ১০ ও ১৪—সবগুলো দ্বারা বিভাজ্য।
________________________________________

✔ সঠিক উত্তর: গ. ৫৮
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন অনুযায়ী, সংখ্যাটি যদি ৩, ৪, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩, ৪ অবশিষ্ট দেয়, তাহলে দেখা যায়—
• ৩ দ্বারা ভাগে অবশিষ্ট ১ → সংখ্যাটি ৩-এর গুণিতকের চেয়ে ১ বেশি
• ৪ দ্বারা ভাগে অবশিষ্ট ২ → সংখ্যাটি ৪-এর গুণিতকের চেয়ে ২ বেশি
• ৫ দ্বারা ভাগে অবশিষ্ট ৩ → সংখ্যাটি ৫-এর গুণিতকের চেয়ে ৩ বেশি
• ৬ দ্বারা ভাগে অবশিষ্ট ৪ → সংখ্যাটি ৬-এর গুণিতকের চেয়ে ৪ বেশি
এখানে খেয়াল করলে দেখা যায়, প্রতিবারই অবশিষ্ট = ভাজক - ২
অর্থাৎ সংখ্যাটির সঙ্গে ২ যোগ না, বরং ২ বিয়োগ করলে সেটি ৩, ৪, ৫, ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অর্থাৎ,
ধরি সংখ্যা = x
তাহলে x + 2 নয়, আসলে
x - 1? না, পরীক্ষা করি:
৩ → ১, ৪ → ২, ৫ → ৩, ৬ → ৪
এখানে প্রতিবারই সংখ্যা = (ভাজকের গুণিতক) - ২?
দেখি:
যদি x = ৫৮, তাহলে
• ৫৮ ÷ ৩ → অবশিষ্ট ১
• ৫৮ ÷ ৪ → অবশিষ্ট ২
• ৫৮ ÷ ৫ → অবশিষ্ট ৩
• ৫৮ ÷ ৬ → অবশিষ্ট ৪
অতএব x + 2 = ৬০, যা ৩, ৪, ৫, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
ধাপ–১: ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু
ল.সা.গু = ৬০
ধাপ–২: চাওয়া সংখ্যা
সংখ্যা = ৬০ - ২ = ৫৮
কেন ৫৮ সঠিক?
কারণ ৫৮ সংখ্যাটি সব শর্ত পূরণ করে।