ল.সা.গু এবং গ.সা.গু

✔ সঠিক উত্তর: ঘ. ৩
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
সূত্র:
"গ.সা.গু"="দুটি সংখ্যার গুণফল" /"ল.সা.গু"
এখানে
গুণফল = ৫৪
ল.সা.গু = ১৮
অতএব,
HCF=54/18=3
কেন ৩ সঠিক?
কারণ
৩ × ১৮ = ৫৪
________________________________________

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: ১৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ গ.সা.গু. হলো দুটি সংখ্যার সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণনীয়ক। ল.সা.গু. হলো সংখ্যাদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক।
❖ দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল এবং গ.সা.গু.–ল.সা.গু.-এর গুণফল সমান। ফলে একটি সংখ্যা জানা থাকলে অন্যটি নির্ণয় করা যায়।
❖ গুরুত্বপূর্ণ শর্ত যাচাই: গুণফল সূত্র দিয়ে যে সংখ্যা পাওয়া গেল, সেটি প্রকৃত গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.-এর শর্ত পূরণ করছে না। তাই শুধু সূত্রের ফলকে সমাধান বলা যাবে না।
❖ প্রকৃতপক্ষে ২০ এবং ১৫-এর গ.সা.গু. = ৫ ও ল.সা.গু. = ৬০; প্রশ্নে চাওয়া ৩০ ও ১০ নয়।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রদত্ত, ল.সা.গু. = ১০, গ.সা.গু. = ৩০ এবং একটি সংখ্যা = ২০।
➤ ধরি, অজানা সংখ্যাটি = x।
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।
⇒ ২০ × x = ৩০ × ১০
⇒ ২০ × x = ৩০০
⇒ x = ৩০০/২০
⇒ x = ১৫।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অপর সংখ্যা = (৩০ × ১০)/২০ = ১৫।

উত্তর: গ
◈ সঠিক উত্তর: ৭৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ গ.সা.গু. হলো দুটি সংখ্যার সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণনীয়ক। ল.সা.গু. হলো সংখ্যাদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক।
❖ দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল এবং গ.সা.গু.–ল.সা.গু.-এর গুণফল সমান। ফলে একটি সংখ্যা জানা থাকলে অন্যটি নির্ণয় করা যায়।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রদত্ত, ল.সা.গু. = ২২৫, গ.সা.গু. = ১৫ এবং একটি সংখ্যা = ৪৫।
➤ ধরি, অজানা সংখ্যাটি = x।
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।
⇒ ৪৫ × x = ১৫ × ২২৫
⇒ ৪৫ × x = ৩৩৭৫
⇒ x = ৩৩৭৫/৪৫
⇒ x = ৭৫।
➤ যাচাই: ৪৫ × ৭৫ = ৩৩৭৫, আবার ১৫ × ২২৫ = ৩৩৭৫।
⇒ উভয় গুণফল সমান; তাই প্রদত্ত শর্তের গুণফল সম্পর্ক ঠিক আছে।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অপর সংখ্যা = (১৫ × ২২৫)/৪৫ = ৭৫।
➤ গুণফলভিত্তিক প্রশ্নে নতুন করে দুই সংখ্যার পূর্ণ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করা লাগে না।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ৭৫।

উত্তর: ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ১৮
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ গ.সা.গু. হলো দুটি সংখ্যার সর্ববৃহৎ সাধারণ গুণনীয়ক। ল.সা.গু. হলো সংখ্যাদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতক।
❖ দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল এবং গ.সা.গু.–ল.সা.গু.-এর গুণফল সমান। ফলে একটি সংখ্যা জানা থাকলে অন্যটি নির্ণয় করা যায়।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রদত্ত, ল.সা.গু. = ৩৬, গ.সা.গু. = ৬ এবং একটি সংখ্যা = ১২।
➤ ধরি, অজানা সংখ্যাটি = x।
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.।
⇒ ১২ × x = ৬ × ৩৬
⇒ ১২ × x = ২১৬
⇒ x = ২১৬/১২
⇒ x = ১৮।
➤ যাচাই: ১২ × ১৮ = ২১৬, আবার ৬ × ৩৬ = ২১৬।
⇒ উভয় গুণফল সমান; তাই প্রদত্ত শর্তের গুণফল সম্পর্ক ঠিক আছে।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অপর সংখ্যা = (৬ × ৩৬)/১২ = ১৮।
➤ গুণফলভিত্তিক প্রশ্নে নতুন করে দুই সংখ্যার পূর্ণ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করা লাগে না।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ১৮।

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: ৮
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ সংখ্যা দুটির অনুপাত জানা থাকলে ধরি তাদের রূপ প্রথম পদ × k ও দ্বিতীয় পদ × k। অনুপাতের পদ দুটি সহমৌলিক হলে গ.সা.গু. সরাসরি k হয়।
❖ যখন গ.সা.গু. দেওয়া থাকে, তখন সেটি ব্যবহার করে k নির্ণয় করলে উভয় সংখ্যাই পাওয়া যায়; সেখান থেকে ল.সা.গু. বা বড়–ছোট সংখ্যা বের করা যায়।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ অনুপাত ২ : ৩, গ.সা.গু. = ৪।
➤ ধরি, সংখ্যা দুটি = ২k এবং ৩k।
➤ অনুপাত-পদদ্বয়ের গ.সা.গু. = ১।
⇒ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. = ১k = ৪।
⇒ k = ৪/১ = ৪।
⇒ প্রথম সংখ্যা = ২ × ৪ = ৮।
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩ × ৪ = ১২।
➤ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. = ৪, ল.সা.গু. = ২৪।
⇒ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম = ৮।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: সংখ্যা দুটি = অনুপাতের পদ × সাধারণ গুণক।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অনুপাত ২:৩ এবং গ.সা.গু. ৪ ⇒ সরাসরি ৮ ও ১২।
➤ প্রয়োজনীয় ফল: ৮।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ৮।

উত্তর: ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ১২০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ সংখ্যা দুটির অনুপাত জানা থাকলে ধরি তাদের রূপ প্রথম পদ × k ও দ্বিতীয় পদ × k। অনুপাতের পদ দুটি সহমৌলিক হলে গ.সা.গু. সরাসরি k হয়।
❖ যখন গ.সা.গু. দেওয়া থাকে, তখন সেটি ব্যবহার করে k নির্ণয় করলে উভয় সংখ্যাই পাওয়া যায়; সেখান থেকে ল.সা.গু. বা বড়–ছোট সংখ্যা বের করা যায়।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ অনুপাত ৫ : ৬, গ.সা.গু. = ৪।
➤ ধরি, সংখ্যা দুটি = ৫k এবং ৬k।
➤ অনুপাত-পদদ্বয়ের গ.সা.গু. = ১।
⇒ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. = ১k = ৪।
⇒ k = ৪/১ = ৪।
⇒ প্রথম সংখ্যা = ৫ × ৪ = ২০।
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৬ × ৪ = ২৪।
➤ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. = ৪, ল.সা.গু. = ১২০।
⇒ নির্ণেয় ল.সা.গু. = ১২০।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: সংখ্যা দুটি = অনুপাতের পদ × সাধারণ গুণক।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অনুপাত ৫:৬ এবং গ.সা.গু. ৪ ⇒ সরাসরি ২০ ও ২৪।
➤ প্রয়োজনীয় ফল: ১২০।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ১২০।

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: ৪৫ ও ৬০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ দুটি সংখ্যার অনুপাত জানা থাকলে সংখ্যা দুটি অনুপাতের পদগুলোর গুণিতক। এগুলোর ল.সা.গু. হবে অনুপাতের পদদ্বয়ের ল.সা.গু.-এর k গুণ।
❖ এই কারণে প্রথমে অনুপাত-পদদ্বয়ের ল.সা.গু. বের করে প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. থেকে k বের করতে হবে।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ অনুপাত = ৩ : ৪; প্রদত্ত ল.সা.গু. = ১৮০।
➤ ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩k ও ৪k।
➤ অনুপাতের পদদ্বয়ের ল.সা.গু. = ১২।
⇒ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. = ১২k।
⇒ ১২k = ১৮০
⇒ k = ১৮০/১২ = ১৫।
⇒ প্রথম সংখ্যা = ৩ × ১৫ = ৪৫।
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ × ১৫ = ৬০।
➤ যাচাই: ল.সা.গু. (৪৫, ৬০) = ১৮০।
⇒ চাওয়া ফল = ৪৫ ও ৬০।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: ল.সা.গু. = অনুপাত-পদদ্বয়ের ল.সা.গু. × সাধারণ গুণক।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ অনুপাত-পদগুলোর ল.সা.গু. ১২; সাধারণ গুণক ১৮০/১২ = ১৫।
➤ তাই সংখ্যাদ্বয় ৪৫, ৬০; উত্তর ৪৫ ও ৬০।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ৪৫ ও ৬০।

উত্তর: গ / ঘ
◈ সঠিক উত্তর: ২০৪ ও ১৪৪
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ দুটি সংখ্যার অন্তর ও গুণফল জানা থাকলে তাদের যোগফল নির্ণয়ের পরিচিতি (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab কাজে লাগে।
❖ প্রথমে গ.সা.গু.–ল.সা.গু. সূত্র থেকে গুণফল; তারপর বর্গের পরিচিতি থেকে যোগফল; শেষে যোগফল–অন্তর সূত্রে দুটি সংখ্যা নির্ণয় করা হয়।
❖ এখানে বিকল্প গ ও ঘ-তে একই দুটি সংখ্যার ক্রম শুধু উল্টো; বড়–ছোট কোন ক্রমে চাওয়া হয়নি, তাই উভয়টি গ্রহণযোগ্য।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ গ.সা.গু. = ১২, ল.সা.গু. = ২৪৪৮, অন্তর = ৬০।
⇒ গুণফল, ab = ১২ × ২৪৪৮ = ২৯৩৭৬।
➤ বড় সংখ্যা a ও ছোট সংখ্যা b হলে a - b = ৬০।
➤ বীজগাণিতিক সূত্র: (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab।
⇒ (a+b)^2 = ৬০^2 + 4 × ২৯৩৭৬
⇒ (a+b)^2 = ৩৬০০ + ১১৭৫০৪ = ১২১১০৪।
⇒ a + b = √১২১১০৪ = ৩৪৮।
⇒ a = (৩৪৮ + ৬০)/2 = ২০৪।
⇒ b = (৩৪৮ - ৬০)/2 = ১৪৪।
➤ যাচাই: অন্তর ২০৪ - ১৪৪ = ৬০; গুণফল ২০৪ × ১৪৪ = ২৯৩৭৬।
➤ গ.সা.গু. যাচাই = ১২, ল.সা.গু. যাচাই = ২৪৪৮।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ যোগফল = √(অন্তর^2 + 4 × গ.সা.গু. × ল.সা.গু.) = ৩৪৮।
➤ সংখ্যা = (যোগফল ± অন্তর)/2 ⇒ ২০৪ ও ১৪৪।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ২০৪ ও ১৪৪।

উত্তর: খ
◈ সঠিক উত্তর: ৬৩
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ যখন একই সংখ্যা কয়েকটি ভাজক দিয়ে ভাগ করলে সমান ভাগশেষ পাওয়া যায়, তখন সংখ্যাটি থেকে ওই ভাগশেষ বাদ দিলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি সব ভাজকে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
❖ তাই প্রথমে প্রয়োজনীয় ভাজকগুলোর ল.সা.গু. বের করা হয়। প্রশ্নের “যোগ করলে”, “অবশিষ্ট”, “কমালে”—এগুলো নির্দেশ করে শেষে ল.সা.গু.-এর সঙ্গে কত যোগ বা বিয়োগ করতে হবে।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ নির্দিষ্ট ভাজকগুলো হলো: ৪, ৫, ৬।
➤ ৪-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ২^২।
➤ ৫-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ৫।
➤ ৬-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ২ × ৩।
➤ সব ভাজকের ল.সা.গু. = ৬০।
➤ প্রত্যেক ভাগে ভাগশেষ ৩; তাই চাওয়া সংখ্যা = ল.সা.গু. + ভাগশেষ।
⇒ সংখ্যা = ৬০ + ৩ = ৬৩।
➤ সরাসরি যাচাই:
⇒ ৬৩ ÷ ৪ দিলে ভাগশেষ ৩।
⇒ ৬৩ ÷ ৫ দিলে ভাগশেষ ৩।
⇒ ৬৩ ÷ ৬ দিলে ভাগশেষ ৩।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: উৎপাদক বিশ্লেষণ: ল.সা.গু.-তে সর্বোচ্চ ঘাত, গ.সা.গু.-তে সর্বনিম্ন সাধারণ ঘাত।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ প্রথমে ল.সা.গু. = ৬০।
➤ ভাগশেষ যোগ করলে ৬৩।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ৬৩।

উত্তর: ক
◈ সঠিক উত্তর: ৯৯০০
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার সঙ্গে কিছু যোগ করে কয়েকটি ভাজকে নিঃশেষে বিভাজ্য করতে চাইলে যোগফলকে ওই ভাজকগুলোর ল.সা.গু.-এর গুণিতক হতে হবে।
❖ যোগযোগ্য সংখ্যার ওপর চার অঙ্কের শর্ত থাকলে ল.সা.গু.-এর উপযুক্ত একাধিক গুণিতক যাচাই করে বড়টি নিতে হয়।
❖ সর্ববৃহৎ ও ক্ষুদ্রতমের পার্থক্য: শর্ত পূরণ করা একাধিক চার অঙ্কের সংখ্যা থাকতে পারে। তাদের মধ্যে সর্বোচ্চটি নেওয়া আবশ্যক।
❖ ১১০০ প্রদত্ত বিকল্পে থাকলেও ৯৯০০ আরও বড় এবং প্রকৃত প্রশ্নের শর্ত পূরণ করে।
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ নির্দিষ্ট ভাজকগুলো হলো: ২২, ২৫, ৩২।
➤ ২২-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ২ × ১১।
➤ ২৫-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ৫^২।
➤ ৩২-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ২^৫।
➤ সব ভাজকের ল.সা.গু. = ৮৮০০।
➤ ৭৭০০-এর সঙ্গে যত যোগ করা হবে, যোগফল হবে ৮৮০০-এর গুণিতক।
⇒ উপযুক্ত গুণিতক ১৭৬০০।
⇒ চাওয়া সংখ্যা = ১৭৬০০ - ৭৭০০ = ৯৯০০।
➤ সরাসরি যাচাই:
⇒ ৯৯০০ ÷ ২২ দিলে ভাগশেষ ০।
⇒ ৯৯০০ ÷ ২৫ দিলে ভাগশেষ ০।
⇒ ৯৯০০ ÷ ৩২ দিলে ভাগশেষ ১২।
⇒ ১৭৬০০ সংখ্যাটি প্রতিটি ভাজকে নিঃশেষে বিভাজ্য।
➤ আর ৮৮০০ - ৭৭০০ = ১১০০-ও চার অঙ্কের একটি ছোট সমাধান, যা বিকল্পে আছে।
➤ তবে প্রশ্নে ‘চার অঙ্কের বৃহত্তম’ চাওয়ায় ৯৯০০-ই প্রকৃত সর্ববৃহৎ সমাধান; প্রদত্ত বিকল্পের ১১০০ সর্ববৃহৎ নয়।
✦ পরীক্ষার জন্য মনে রাখুন — গাণিতিক সূত্র
➤ সূত্র: উৎপাদক বিশ্লেষণ: ল.সা.গু.-তে সর্বোচ্চ ঘাত, গ.সা.গু.-তে সর্বনিম্ন সাধারণ ঘাত।
✦ শর্টকাট ম্যাথড:
➤ প্রথমে ল.সা.গু. = ৮৮০০।
➤ যোগকৃত সংখ্যা বিয়োগ করলে ৯৯০০।
◈ চূড়ান্ত উত্তর: ৯৯০০।