অনুপাত ও সমানুপাত

"◈ সঠিক উত্তর: একটি ভগ্নাংশ
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ অনুপাত হলো একই জাতীয় দুইটি রাশির তুলনা। এই তুলনা সাধারণত ভাগ বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা হয়।
➤ যদি দুইটি রাশি হয় p ও q, তাহলে তাদের অনুপাত—
⇒ p : q
⇒ p/q
যেমন,
➤ ৬টি কলম ও ৩টি কলমের অনুপাত
⇒ ৬ : ৩
⇒ ২ : ১
অর্থাৎ অনুপাত আসলে দুইটি রাশির ভাগফল বা ভগ্নাংশ।
◉ গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
❖ অনুপাতে প্রথম রাশিকে বলা হয় পূর্ব রাশি।
❖ দ্বিতীয় রাশিকে বলা হয় উত্তর রাশি।
❖ p:q -এ p হলো পূর্বরাশি এবং q হলো উত্তররাশি।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. একটি পূর্ণসংখ্যা — ভুল। কারণ অনুপাত ভগ্নাংশও হতে পারে।
➤ খ. একটি মৌলিক সংখ্যা — ভুল। মৌলিক সংখ্যা শুধু ১ ও নিজে দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা। অনুপাত কোনো মৌলিক সংখ্যা নয়।
➤ গ. একটি ভগ্নাংশ — সঠিক।
➤ ঘ. একটি জোড়া সংখ্যা — ভুল। অনুপাতে দুইটি রাশি থাকে, কিন্তু সেটি জোড়া সংখ্যা নয়।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
যখন দেখবেন p:q, তখন মনে করবেন—
➤ p/q অর্থাৎ অনুপাত = ভগ্নাংশ।"

◈ সঠিক উত্তর: ২০ : ২১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ যে অনুপাতে পূর্ব রাশি উত্তর রাশির চেয়ে ছোট হয়, তাকে লঘু অনুপাত বলে।
➤ নিয়ম:
⇒ পূর্ব রাশি < উত্তর রাশি হলে লঘু অনুপাত।
এখন অপশনগুলো দেখি—
ক. ৫ : ৩
➤ এখানে ৫ > ৩
⇒ এটি লঘু অনুপাত নয়, এটি গুরু অনুপাত।
খ. ১৫ : ৩
➤ এখানে ১৫ > ৩
⇒ এটিও গুরু অনুপাত।
গ. ২০ : ২১
➤ এখানে ২০ < ২১
⇒ এটি লঘু অনুপাত।
ঘ. ৩০ : ২১
➤ এখানে ৩০ > ২১
⇒ এটিও গুরু অনুপাত।
সুতরাং সঠিক উত্তর ২০ : ২১।
◉ সম্পর্কিত তথ্য:
❖ লঘু অনুপাত: প্রথম সংখ্যা ছোট। যেমন ৩ : ৫, ৭ : ৯
❖ গুরু অনুপাত: প্রথম সংখ্যা বড়। যেমন ৮ : ৩, ১০ : ৭
❖ সাম্য অনুপাত: দুই রাশি সমান। যেমন ৫ : ৫, ৯ : ৯
◉ শর্টকাট টেকনিক:
➤ প্রথম সংখ্যা ছোট হলে = লঘু অনুপাত
➤ প্রথম সংখ্যা বড় হলে = গুরু অনুপাত
➤ দুই সংখ্যা সমান হলে = সাম্য অনুপাত

◈ সঠিক উত্তর: ২ : ৪
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ বিভাজিত অনুপাত বের করতে মূল অনুপাতের উভয় পদের বর্গমূল নিতে হয়।
প্রশ্নে দেওয়া আছে—
➤ ৪ : ১৬
বিভাজিত অনুপাত হবে—
➤ √৪ : √১৬
➤ ২ : ৪
কারণ,
➤ √৪ = ২
➤ √১৬ = ৪
সুতরাং সঠিক উত্তর ২ : ৪।
◉ আরও সরল করলে:
➤ ২ : ৪
⇒ ১ : ২
তবে অপশনে ১ : ২ নেই। প্রশ্নে বিভাজিত অনুপাত চাওয়া হয়েছে এবং অপশনে সরাসরি √৪ : √১৬ = ২ : ৪ আছে। তাই উত্তর খ. ২ : ৪।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ১ : ৪ — ভুল। এটি √৪ : √১৬ নয়।
➤ খ. ২ : ৪ — সঠিক।
➤ গ. ৪ : ২ — ভুল। এটি ২ : ৪-এর ব্যস্তানুপাত।
➤ ঘ. ৪ : ১ — ভুল। এটি মূল অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত নয়।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
বিভাজিত অনুপাত = দুই পদের বর্গমূল।
➤ ৪ : ১৬ ⇒ ২ : ৪
➤ ২৫ : ۸১ ⇒ ৫ : ৯
➤ ৩৬ : ৬৪ ⇒ ৬ : ৮ ⇒ ৩ : ৪

◈ সঠিক উত্তর: ৩৫ : ৭২
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ দুই বা ততোধিক অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল দিয়ে যে অনুপাত পাওয়া যায়, তাকে মিশ্র অনুপাত বলে।
প্রদত্ত অনুপাতগুলো—
➤ ৫ : ১৮
➤ ৭ : ২
➤ ৩ : ৬
মিশ্র অনুপাত হবে—
➤ (৫ × ৭ × ৩) : (১৮ × ২ × ৬)
➤ ১০৫ : ২১৬
এখন সরল করি—
➤ ১০৫ ও ২১৬ উভয়কে ৩ দিয়ে ভাগ করি—
➤ (১০৫ ÷ ৩) : (২১৬ ÷ ৩)
➤ ৩৫ : ৭২
অতএব,
➤ ৩৫ : ৭২
◉ তাই সঠিক উত্তর ৩৫ : ৭২।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৭২ : ১০৫ — উল্টো ও অসম্পূর্ণ।
➤ খ. ৭২ : ৩৫ — সঠিক উত্তরের ব্যস্তানুপাত।
➤ গ. ৩৫ : ৭২ — সঠিক।
➤ ঘ. ১০৫ : ৭২ — ভুল।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
মিশ্র অনুপাত = উপরগুলোর গুণ : নিচগুলোর গুণ
➤ (a/b) × (c/d) × (e/f)
⇒ (a×c×e) : (b×d×f)

◈ সঠিক উত্তর: 25 : 21
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে দেওয়া আছে—
➤ a : b = 3 : 5
অর্থাৎ,
➤ a/b = 3/5
আবার,
➤ a : c = 5 : 7
এখন দরকার b : c
আমরা লিখতে পারি—
➤ b/c = (b/a) × (a/c)
এখানে,
➤ b/c = (5/3) × (5/7)
➤ b/c = 25/21
তাই,
➤ b : c = 25 : 21
অতএব সঠিক উত্তর ২৫ : ২১।
◉ আরেকভাবে:
a-কে সমান করি।
প্রথম অনুপাতে a = 3, দ্বিতীয় অনুপাতে a = 5।
ল.সা.গু = ১৫
➤ a : b = (3×5) : (5×5) = 15 : 25
➤ a : c = (5×3) : (7×3) = 15 : 21
তাই,
➤ b : c = 25 : 21
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 3 : 7 — ভুল।
➤ খ. 21 : 35 — ভুল।
➤ গ. 21 : 25 — সঠিক উত্তরের ব্যস্তানুপাত।
➤ ঘ. 25 : 21 — সঠিক।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
যদি a/b = x/y এবং a/c = x/z দেওয়া থাকে, তাহলে a সমান করুন।
➤ b/c = (b/a) × (a/c)
সুতরাং,
➤ b : c = 25 : 21

◈ সঠিক উত্তর: ৫ : ২
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে বলা হয়েছে—
➤ x-এর ১০% = y-এর ২৫%
অর্থাৎ,
➤ x × ১০/১০০ = y × ২৫/১০০
গাণিতিকভাবে,
➤ ১০x/১০০ = ২৫y/১০০
১০০ দ্বারা উভয় পাশে গুণ করলে—
➤ ১০x = ২৫y
এখন,
➤ x/y = ২৫/১০
সরল করলে—
➤ x/y = ৫/২
অতএব সঠিক উত্তর ৫ : ২।
◉ গুরুত্বপূর্ণ ধারণা:
যদি x-এর কম শতাংশ y-এর বেশি শতাংশের সমান হয়, তাহলে x-এর মান y-এর চেয়ে বড় হবে।
এখানে x-এর ১০% = y-এর ২৫%, তাই x বড়। তাই উত্তর হবে ৫ : ২, ২ : ৫ নয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫ : ১ — বেশি হয়ে যায়।
➤ খ. ১ : ৫ — উল্টো।
➤ গ. ২ : ৫ — উল্টো অনুপাত।
➤ ঘ. ৫ : ২ — সঠিক।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
যদি,
➤ x-এর a% = y-এর b%
তাহলে,
➤ x/y = b/a
এখানে,
➤ a = ১০, b = ২৫
তাই,
➤ x : y = ২৫ : ১০ = ৫ : ২

◈ সঠিক উত্তর: ৪.৫
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রশ্নমতে,
➤ y : z = ১.৫
অর্থাৎ,
➤ y/z = ১.৫
যেহেতু z = ২,
➤ y/২ = ১.৫
➤ y = ৩
আবার,
➤ x : y = ১.৫
➤ x/y = ১.৫
তাই,
➤ x/৩ = ১.৫
➤ x = ৩ × ১.৫ = ৪.৫
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ a:b = ১.৫ মানে a/b = ১.৫।
❖ এখানে ধারাবাহিক অনুপাত দেওয়া আছে, তাই z থেকে y, তারপর y থেকে x বের করা হয়েছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৪ — কম।
➤ খ. ৫ — বেশি।
➤ গ. ৪.৫ — সঠিক।
➤ ঘ. ৫.৪ — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ y = ২ × ১.৫ = ৩
➤ x = ৩ × ১.৫ = ৪.৫

◈ সঠিক উত্তর: ২৫%
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ আয় : ব্যয় = ২০ : ১৫
সঞ্চয়,
➤ = আয় − ব্যয়
➤ = ২০ − ১৫ = ৫ অংশ
আয়ের শতকরা সঞ্চয়,
➤ = ৫/২০ × ১০০%
➤ = ২৫%
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ সঞ্চয় = আয় − ব্যয়।
❖ সঞ্চয়ের শতকরা আয়ের ওপর হিসাব করা হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ১৬% — ভুল।
➤ খ. ১৭.৫% — ভুল।
➤ গ. ২০% — ভুল।
➤ ঘ. ২৫% — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ আয় ২০, ব্যয় ১৫ ⇒ সঞ্চয় ৫
➤ ৫/২০ = ২৫%

◈ সঠিক উত্তর: ২৩১, ১৬৫
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ ধরি, সংখ্যা দুটি = ৭x ও ৫x।
❖ বিয়োগফল = ৬৬
➤ ৭x − ৫x = ৬৬
➤ ২x = ৬৬
➤ x = ৩৩
সুতরাং,
➤ বড় সংখ্যা = ৭ × ৩৩ = ২৩১
➤ ছোট সংখ্যা = ৫ × ৩৩ = ১৬৫
◉ শর্টকাট:
❖ অনুপাতের পার্থক্য = ৭ − ৫ = ২ অংশ
❖ ২ অংশ = ৬৬ ⇒ ১ অংশ = ৩৩
❖ সংখ্যা = ৭×৩৩, ৫×৩৩ = ২৩১, ১৬৫

◈ সঠিক উত্তর: ৩ : ২
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
❖ যোগফল ২০০। অনুপাতের অংশের যোগফল দিয়ে ২০০ নিঃশেষে ভাগ যেতে হবে এবং দুইটি সংখ্যাই ৫০-এর বেশি হতে হবে।
❖ ৩ : ২ হলে মোট অংশ = ৫
➤ ১ অংশ = ২০০ ÷ ৫ = ৪০
➤ সংখ্যা দুটি = ৩ × ৪০ = ১২০ এবং ২ × ৪০ = ৮০
উভয়ই ৫০-এর বেশি। তাই সঠিক।
◉ অন্য অপশন:
❖ ৯ : ২ ⇒ মোট ১১ অংশ; ২০০ ভাগ যায় না।
❖ ৫ : ২ ⇒ মোট ৭ অংশ; ২০০ ভাগ যায় না।
❖ ৭ : ২ ⇒ মোট ৯ অংশ; ২০০ ভাগ যায় না।