বীজগাণিতিক রাশিমালা

"◈ সঠিক উত্তর: x+2y-z
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে,
➤ প্রথম রাশি = x+y
➤ দ্বিতীয় রাশি = y-z
প্রশ্নে বলা হয়েছে, x+y এর সাথে y-z যোগ করতে হবে।
তাই,
➤ (x+y) + (y-z)
বন্ধনী উঠালে,
➤ x+y+y-z
সদৃশ পদ একত্র করি,
➤ x+2y-z
⇒ উত্তর = x+2y-z
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ বীজগাণিতিক রাশি হলো সংখ্যা, চলক এবং গাণিতিক চিহ্নের সমন্বয়ে গঠিত রাশি।
❖ এখানে x,y,z হলো চলক।
❖ সদৃশ পদ হলো একই চলক ও একই ঘাতবিশিষ্ট পদ। যেমন y ও y সদৃশ পদ।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. x+2y-z — সঠিক।
➤ খ. x+2y+z — ভুল; এখানে z-এর চিহ্ন ঋণাত্মক হবে।
➤ গ. x+y+z — ভুল; y+y=2y হবে।
➤ ঘ. x-y-z — ভুল; y বাদ যাবে না।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
➤ x+y+y-z
➤ y+y=2y
➤ উত্তর x+2y-z"

◈ সঠিক উত্তর: x+2y-z
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে,
➤ প্রথম রাশি = x+y
➤ দ্বিতীয় রাশি = y-z
প্রশ্নে বলা হয়েছে, x+y এর সাথে y-z যোগ করতে হবে।
তাই,
➤ (x+y) + (y-z)
বন্ধনী উঠালে,
➤ x+y+y-z
সদৃশ পদ একত্র করি,
➤ x+2y-z
⇒ উত্তর = x+2y-z
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ বীজগাণিতিক রাশি হলো সংখ্যা, চলক এবং গাণিতিক চিহ্নের সমন্বয়ে গঠিত রাশি।
❖ এখানে x,y,z হলো চলক।
❖ সদৃশ পদ হলো একই চলক ও একই ঘাতবিশিষ্ট পদ। যেমন y ও y সদৃশ পদ।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. x+2y-z — সঠিক।
➤ খ. x+2y+z — ভুল; এখানে z-এর চিহ্ন ঋণাত্মক হবে।
➤ গ. x+y+z — ভুল; y+y=2y হবে।
➤ ঘ. x-y-z — ভুল; y বাদ যাবে না।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
➤ x+y+y-z
➤ y+y=2y
➤ উত্তর x+2y-z

◈ সঠিক উত্তর: a²-2ab+b²
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে,
➤ (a-b) × (a-b)
এটি লেখা যায়,
➤ (a-b)²
সূত্র অনুযায়ী,
➤ (a-b)² = a²-2ab+b²
তাই,
➤ (a-b)(a-b) = a²-2ab+b²
⇒ উত্তর = a²-2ab+b²
✦ বিস্তার করে সমাধান:
➤ (a-b)(a-b)
➤ = a(a-b) - b(a-b)
➤ = a² - ab - ab + b²
➤ = a² - 2ab + b²
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এটি বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।
❖ (a-b)² মানে (a-b) রাশিটিকে নিজের সাথে গুণ করা।
❖ এখানে মাঝের পদ -2ab, কারণ -ab-ab=-2ab।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. a²-b² — এটি (a+b)(a-b) - এর সূত্র, এখানে নয়।
➤ খ. a²-2ab+b² — সঠিক।
➤ গ. a²+2ab+b² — এটি (a+b)² - এর সূত্র।
➤ ঘ. 2a-2b — এটি যোগের মতো ভুল ধারণা।
◉ শর্টকাট টেকনিক:
➤ (a-b)² দেখলে সরাসরি লিখুন:
⇒ a²-2ab+b²

◈ সঠিক উত্তর: ২
✦ গাণিতিক সমাধান:
ভাজক x+1।
➤ x+1 = 0
➤ x = -1
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
➤ f(x) = x² - 3x - 2
তাহলে,
➤ f(-1) = (-1)² - 3(-1) - 2
➤ = 1 + 3 - 2
➤ = 2
অতএব ভাগশেষ = ২
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, f(x) কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।
❖ এখানে x+1 = x-(-1), তাই x=-1 বসাতে হয়েছে।
◉ শর্টকাট:
➤ x+1 দেখলে x=-1 বসাও
➤ 1 + 3 - 2 = 2

◈ সঠিক উত্তর: ৪৭
✦ গাণিতিক সমাধান:
ভাজক x+3।
➤ x+3 = 0
➤ x = -3
ধরি,
➤ f(x) = x⁴ + 2x³ + 3x² + 4x + 5
তাহলে,
➤ f(-3) = (-3)⁴ + 2(-3)³ + 3(-3)² + 4(-3) + 5
➤ = 81 + 2(-27) + 3(9) - 12 + 5
➤ = 81 - 54 + 27 - 12 + 5
➤ = 47
অতএব ভাগশেষ = ৪৭
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ x+3 = x-(-3), তাই x=-3 বসাতে হয়েছে।
❖ জোড় ঘাতে ঋণাত্মক সংখ্যা ধনাত্মক হয়, বিজোড় ঘাতে ঋণাত্মক থাকে।
◉ শর্টকাট:
➤ x=-3 বসাও
➤ 81 - 54 + 27 - 12 + 5 = 47

◈ সঠিক উত্তর: a-1
✦ গাণিতিক সমাধান:
ইমেজের প্রদত্ত সমাধান অনুযায়ী ধাপে ধাপে—
➤ a - {a - (a - (a - (a - 1)))}
ভিতরের অংশ সরল করলে,
➤ a - (a - 1) = a - a + 1 = 1
তারপর,
➤ a - (a - 1) = 1
বন্ধনী সরল করলে শেষ পর্যন্ত,
➤ = a - 1
অতএব উত্তর = a-1
⚠ বিশেষ সতর্কতা: এই প্রশ্নে মুদ্রণ/চিহ্নের অস্পষ্টতা আছে। তবে ইমেজের উত্তর-কী অনুযায়ী সঠিক উত্তর গ. a-1।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এ ধরনের প্রশ্নে সবচেয়ে ভিতরের বন্ধনী আগে সরল করতে হয়।
❖ ঋণাত্মক চিহ্নের আগে বন্ধনী থাকলে ভিতরের সব চিহ্ন বদলে যায়।
◉ শর্টকাট:
➤ ভিতর থেকে বাইরে আসুন।
➤ + ও - চিহ্ন খুব সাবধানে বদলাতে হবে।

◈ সঠিক উত্তর: ০
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ a - [2b - {3c - (a - 2b + 3c)}]
প্রথমে,
➤ {3c - (a - 2b + 3c)}
বন্ধনী ভাঙি—
➤ = 3c - a + 2b - 3c
➤ = -a + 2b
তাই,
➤ a - [2b - (-a + 2b)]
এখন,
➤ 2b - (-a + 2b)
➤ = 2b + a - 2b
➤ = a
সুতরাং পুরো রাশি,
➤ a - [a]
➤ = 0
অতএব মান = ০
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ বন্ধনীর আগে ঋণাত্মক চিহ্ন থাকলে প্রতিটি চিহ্ন বদলাবে।
❖ 3c এবং -3c, 2b এবং -2b পরস্পর কেটে যায়।
◉ শর্টকাট:
➤ ভিতরের অংশ -a+2b
➤ মাঝের বন্ধনী = a
➤ a - a = 0

◈ সঠিক উত্তর: ১
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ সমীকরণটি হলো—
➤ a²x + b = 0
এখানে x হলো চলক।
➤ a²x - এ x-এর ঘাত = ১
➤ b ধ্রুবক পদ, এতে x নেই।
সুতরাং সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাত = ১
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে সমীকরণের ঘাত বা degree বলে।
❖ a² এখানে সহগ, কারণ প্রশ্নে x কে চলক ধরা হয়েছে।
◉ শর্টকাট:
➤ x-এর উপর কোনো ঘাত লেখা না থাকলে ঘাত ১ ধরা হয়।

◈ সঠিক উত্তর: -১
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ ধরি, যোগ করতে হবে A।
➤ (x-3)/(x-2) + A = 1/(2-x)
সুতরাং,
➤ A = 1/(2-x) - (x-3)/(x-2)
এখন,
➤ (2-x) = -(x-2)
তাই,
➤ 1/(2-x) = -1/(x-2)
সুতরাং,
➤ A = -1/(x-2) - (x-3)/(x-2)
➤ A = (-1 - (x-3)) / (x-2)
➤ A = (-1 - x + 3) / (x-2)
➤ A = (2 - x) / (x-2)
➤ A = -(x - 2) / (x-2)
➤ A = -1
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ (2-x) এবং (x-2) একই নয়;
➤ (2-x) = -(x-2)
❖ এই চিহ্ন পরিবর্তনই প্রশ্নের মূল কৌশল।
◉ শর্টকাট:
➤ 1/(2-x) = -1/(x-2)
➤ তাই -1/(x-2) - (x-3)/(x-2) = -1

◈ সঠিক উত্তর: 3ax
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 15ax² / 5x
সহগ ভাগ করি—
➤ 15 ÷ 5 = 3
চলক ভাগ করি—
➤ x² / x = x
তাই,
➤ 15ax² / 5x = 3ax
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ একই ভিত্তির ঘাত ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয়।
➤ x² ÷ x = x²⁻¹ = x
◉ শর্টকাট:
➤ ১৫ / ৫ = ৩
➤ x² / x = x
➤ উত্তর 3ax