বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

"◈ সঠিক উত্তর: a² + 2ab + b²
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ (a + b)²
প্রদত্ত রাশি, ➤ (a + b)²
মান বসাই, ➤ (a + b)² = (a + b)(a + b)
➤ = a² + ab + ab + b²
➤ = a² + 2ab + b²
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ দুই পদের যোগফলের বর্গের সূত্র হলো —
➤ (a + b)² = a² + 2ab + b²
❖ এখানে মাঝের পদ 2ab অবশ্যই থাকবে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. a² + b²: মাঝের পদ 2ab নেই, তাই ভুল।
➤ খ. a² − 2ab + b²: এটি (a − b)²- এর সূত্র, তাই ভুল।
➤ গ. a² + 2ab + b²: সঠিক।
➤ ঘ. 2a + 2b: এটি বর্গ নয়; শুধু 2 দিয়ে গুণের মতো, তাই ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ যোগফলের বর্গ = প্রথম² + ২ × প্রথম × দ্বিতীয় + দ্বিতীয়²।
➤ তাই উত্তর a² + 2ab + b²।"

◈ সঠিক উত্তর: (a − b)² + 4ab
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ (a + b)²
প্রদত্ত রাশি, ➤ (a − b)² + 4ab
মান বসাই, ➤ (a − b)² + 4ab
➤ = a² − 2ab + b² + 4ab
➤ = a² + 2ab + b²
➤ = (a + b)²
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ (a − b)² = a² − 2ab + b²
❖ এর সাথে 4ab যোগ করলে মাঝের পদ হয় —
➤ −2ab + 4ab = +2ab
❖ ফলে পাওয়া যায় (a + b)²।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. (a − b)² + 4ab: সঠিক।
➤ খ. (a − b)² − 2ab: এতে মাঝের পদ আরও কমে যায়, তাই ভুল।
➤ গ. (a − b)² = 2ab: এটি কোনো সমতুল্য রাশি নয়, তাই ভুল।
➤ ঘ. a² + b²: মাঝের পদ 2ab নেই, তাই ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ মনে রাখো, (a + b)² = (a − b)² + 4ab।

◈ সঠিক উত্তর: 4xy
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ (x + y)² − (x − y)²
প্রদত্ত রাশি, ➤ (x + y)² − (x − y)²
মান বসাই, ➤ (x + y)² = x² + 2xy + y²
➤ (x − y)² = x² − 2xy + y²
সুতরাং, ➤ (x + y)² − (x − y)²
➤ = (x² + 2xy + y²) − (x² − 2xy + y²)
➤ = x² + 2xy + y² − x² + 2xy − y²
➤ = 4xy
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এখানে দুইটি পূর্ণবর্গের পার্থক্য নেওয়া হয়েছে।
❖ x² ও y² কাটাকাটি হয়ে যায়।
❖ শুধু মাঝের পদগুলো যোগ হয়ে 4xy হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. x²: x² পদ কাটাকাটি হয়ে যায়, তাই ভুল।
➤ খ. y²: y² পদও কাটাকাটি হয়ে যায়, তাই ভুল।
➤ গ. x² − y²: এটি দুই বর্গের অন্তর; এখানে প্রযোজ্য নয়।
➤ ঘ. 4xy: সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ সূত্র: (x + y)² − (x − y)² = 4xy।

◈ সঠিক উত্তর: ((x + y)/2)² − ((x − y)/2)²
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ xy- কে দুইটি বর্গের অন্তরফল আকারে প্রকাশ করতে হবে।
প্রদত্ত রাশি, ➤ xy
সূত্র প্রয়োগ করি, ➤ ((x + y)/2)² − ((x − y)/2)²
এখন বিস্তার করি, ➤ = {(x + y)² − (x − y)²}/4
➤ = {(x² + 2xy + y²) − (x² − 2xy + y²)}/4
➤ = {4xy}/4
➤ = xy
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এটি দুই বর্গের অন্তরের একটি গুরুত্বপূর্ণ রূপ।
❖ xy বের করতে হলে যোগফলের অর্ধেকের বর্গ থেকে বিয়োগফলের অর্ধেকের বর্গ বিয়োগ করতে হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. একই রাশি বিয়োগ করলে 0; ভুল।
➤ খ. চিহ্ন উল্টো; এতে −xy পাওয়া যায়।
➤ গ. সঠিক।
➤ ঘ. এতে 4xy পাওয়া যায়, xy নয়।
◉ শর্টকাট:
➤ xy = {(x + y)/2}² − {(x − y)/2}²

◈ সঠিক উত্তর: ±১৬
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x − y = 4
➤ xy = 60
প্রদত্ত রাশি, ➤ x + y
সূত্র প্রয়োগ করি, ➤ (x + y)² = (x − y)² + 4xy
মান বসাই, ➤ (x + y)² = 4² + 4 × 60
➤ = 16 + 240
➤ = 256
তাই, ➤ x + y = ±√256
➤ x + y = ±16
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ x + y সরাসরি বের করতে হলে প্রথমে তার বর্গ বের করা যায়।
❖ বর্গমূল নেওয়ার সময় ± চিহ্ন আসতে পারে।
❖ তাই (x + y)² = 256 হলে x + y = ±16।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ১৬ — শুধু ধনাত্মক মান; পূর্ণ উত্তর নয়।
➤ খ. ±১৬ — সঠিক।
➤ গ. ৪ — এটি x − y- এর মান; x + y নয়।
➤ ঘ. ±৬৪ — ভুল; √256 = 16, 64 নয়।
◉ শর্টকাট:
➤ (x + y)² = 4² + 4 × 60
➤ = 16 + 240 = 256
➤ x + y = ±16

◈ সঠিক উত্তর: ১
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে:
➤ a + b = 7
➤ ab = 12
প্রদত্ত রাশির সূত্র প্রয়োগ করি,
➤ (a - b)² = (a + b)² - 4ab
মান বসাই,
➤ (a - b)² = 7² - 4 × 12
➤ (a - b)² = 49 - 48 = 1
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এখানে a ও b এর মান হবে যথাক্রমে ৪ ও ৩, কারণ 4+3=7 এবং 4×3=12।
তাই (4-3)² = 1² = 1, যা সূত্র দিয়ে প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে মিলে যায়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫০ – ভুল, অতিরিক্ত মান যোগ করার ফলাফল।
➤ খ. ১২৫ – ভুল, পুরোপুরি ভুল গণনা।
➤ গ. ৫ – ভুল, গণনায় ত্রুটি হয়েছে।
➤ ঘ. ১ – সঠিক, সূত্র প্রয়োগ ও যাচাই উভয় পদ্ধতিতে সঠিক মান পাওয়া গেছে।
◉ শর্টকাট:
➤ (a-b)² = 7² - 4×12 = 49 - 48 = 1

◈ সঠিক উত্তর: ৫
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে:
➤ a + b = 13
➤ ab = 36
প্রথমে (a - b)² এর মান নির্ণয় করি,
➤ (a - b)² = (a + b)² - 4ab
মান বসাই,
➤ (a - b)² = 13² - 4 × 36
➤ (a - b)² = 169 - 144 = 25
বর্গমূল করে পাই,
➤ a - b = √25 = 5
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এখানে a=9, b=4 বা a=4, b=9 হলে শর্ত পূরণ হয়।
তাই 9-4=5, যা সূত্রের মানের সাথে মিলে যায়। (সাধারনত ধনাত্মক মান ধরা হয়)
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫ – সঠিক, সূত্র ও যাচাই উভয় পদ্ধতিতে সঠিক মান পাওয়া গেছে।
➤ খ. ৮ – ভুল, গণনায় ত্রুটি হয়েছে।
➤ গ. ১০ – ভুল, ভুল সংখ্যা বিয়োগ করার ফলাফল।
➤ ঘ. ৭ – ভুল, অসম্পর্কিত মান।
◉ শর্টকাট:
➤ (a-b)² = 13² - 4×36 = 25
➤ a-b = √25 = 5

◈ সঠিক উত্তর: 6
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ (x + y)² = 164
➤ xy = 32
প্রদত্ত রাশি, ➤ x − y
মান বসাই, ➤ (x − y)² = (x + y)² − 4xy
➤ = 164 − 4 × 32
➤ = 164 − 128
➤ = 36
সুতরাং, ➤ x − y = √36
➤ = 6
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ সূত্র: (x − y)² = (x + y)² − 4xy
❖ সাধারণভাবে ±6 হতে পারে, কিন্তু অপশনে 6 দেওয়া আছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 6: সঠিক।
➤ খ. 9: ভুল।
➤ গ. 4: ভুল।
➤ ঘ. 12: ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 164 − 128 = 36
➤ √36 = 6

◈ সঠিক উত্তর: 22
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x² + y² = 8
➤ xy = 7
প্রদত্ত রাশি, ➤ (x + y)²
মান বসাই, ➤ (x + y)² = (x² + y²) + 2xy
➤ = 8 + 2 × 7
➤ = 8 + 14
➤ = 22
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ইমেজে প্রথম অংশটি অস্পষ্ট/ভুল ছাপা থাকতে পারে; উত্তর ও সমাধান অনুযায়ী এখানে x² + y² = 8 ধরা হয়েছে।
❖ সূত্র: (x + y)² = x² + 2xy + y²
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 14: এটি শুধু 2xy- এর মান; সম্পূর্ণ উত্তর নয়।
➤ খ. 16: ভুল।
➤ গ. 22: সঠিক।
➤ ঘ. 30: ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ (x+y)² = 8 + 2×7
➤ = 22

◈ সঠিক উত্তর: 25
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ a + b = 7
➤ ab = 12
প্রদত্ত রাশি, ➤ a² + b²
মান বসাই, ➤ a² + b² = (a + b)² − 2ab
➤ = 7² − 2 × 12
➤ = 49 − 24
➤ = 25
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ (a + b)² = a² + 2ab + b²।
❖ তাই a² + b² = (a + b)² − 2ab।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 49 — এটি (a + b)²; ভুল।
➤ খ. 36 — ভুল।
➤ গ. 28 — ভুল।
➤ ঘ. 25 — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ 7² − 2×12 = 49 − 24 = 25