সরল ও দ্বিপদী অসমতা

"◈ সঠিক উত্তর: a > b − c
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ a + c > b
প্রদত্ত রাশি, ➤ a- এর সাথে সম্পর্ক বের করতে হবে।
মান বসাই, ➤ a + c > b
➤ a + c − c > b − c
➤ a > b − c
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ অসমতার দুই পাশে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয় না।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. a > b − c: সঠিক।
➤ খ. a < b − c: চিহ্ন উল্টো, তাই ভুল।
➤ গ. a > b + c: ভুল।
➤ ঘ. a < b + c: প্রদত্ত অসমতা থেকে এটি সরাসরি পাওয়া যায় না।
◉ শর্টকাট:
➤ a + c > b
➤ c পাশে সরালে হবে a > b − c"

◈ সঠিক উত্তর: a = b
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ a ≤ b
➤ b ≤ a
প্রদত্ত রাশি, ➤ a ও b- এর সম্পর্ক
মান বসাই, ➤ a ≤ b মানে a, b- এর সমান বা ছোট।
➤ b ≤ a মানে b, a- এর সমান বা ছোট।
দুইটি একসাথে সত্য হতে হলে, ➤ a = b
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ একটি সংখ্যা অন্যটির চেয়ে বড়ও নয়, আবার ছোটও নয় — তাহলে তারা সমান।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. a < b: ভুল।
➤ খ. a > b: ভুল।
➤ গ. a = b: সঠিক।
➤ ঘ. a ≠ b: ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ a ≤ b এবং b ≤ a
➤ তাই a = b

◈ সঠিক উত্তর: বড়
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x > y
প্রদত্ত রাশি, ➤ 1/x এবং 1/y- এর সম্পর্ক
মান বসাই, ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে, ➤ x > y হলে
➤ 1/x < 1/y
অর্থাৎ, ➤ 1/y হলো 1/x- এর চেয়ে বড়।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যা যত বড় হয়, তার বিপরীত ভগ্নাংশ তত ছোট হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. বড়: সঠিক।
➤ খ. ছোট: ভুল।
➤ গ. সমান: x ও y সমান নয়।
➤ ঘ. অসমান: সত্য হলেও নির্দিষ্ট তুলনা নয়; প্রশ্নে বড়/ছোট জানতে চাওয়া হয়েছে।
◉ শর্টকাট:
➤ x > y হলে
➤ 1/x < 1/y
➤ তাই 1/y বড়।

◈ সঠিক উত্তর: xy > −21
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x > 7
➤ y > −3
প্রদত্ত রাশি, ➤ xy- এর সম্পর্ক
মান বসাই, সীমান্ত মান অনুযায়ী, ➤ xy > 7 × (−3)
➤ xy > −21
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ অপশনগুলোর মধ্যে নিশ্চিতভাবে সত্য সম্পর্ক হলো xy > −21।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. xy > 7: সবসময় সত্য নয়।
➤ খ. xy > −21: সঠিক।
➤ গ. xy < 3: সবসময় সত্য নয়।
➤ ঘ. −x > 2y: নিশ্চিত নয়।
◉ শর্টকাট:
➤ 7 × (−3) = −21
➤ তাই xy > −21

◈ সঠিক উত্তর: 1 ≤ y − x ≤ 10
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ −2 ≤ x ≤ 2
➤ 3 ≤ y ≤ 8
প্রদত্ত রাশি, ➤ y − x
মান বসাই,
সর্বনিম্ন মান পেতে, ➤ y সর্বনিম্ন = 3
➤ x সর্বোচ্চ = 2
➤ y − x = 3 − 2 = 1
সর্বোচ্চ মান পেতে, ➤ y সর্বোচ্চ = 8
➤ x সর্বনিম্ন = −2
➤ y − x = 8 − (−2) = 10
সুতরাং, ➤ 1 ≤ y − x ≤ 10
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ y − x- এর সর্বনিম্ন মানের জন্য y ছোট এবং x বড় ধরতে হয়।
❖ y − x- এর সর্বোচ্চ মানের জন্য y বড় এবং x ছোট ধরতে হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 1 ≤ y − x ≤ 10: সঠিক।
➤ খ. 1 ≤ y − x ≤ 5: সর্বোচ্চ মান 10 হতে পারে, তাই ভুল।
➤ গ. 5 ≤ y − x ≤ 6: সর্বনিম্ন 1 হতে পারে, তাই ভুল।
➤ ঘ. কোনোটিই নয়: ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ Min = 3 − 2 = 1
➤ Max = 8 − (−2) = 10
➤ তাই 1 ≤ y − x ≤ 10

◈ সঠিক উত্তর: x < y
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x > 0
➤ y > 0
➤ 1/x > 1/y
যেহেতু x এবং y উভয়েই ধনাত্মক, অসমতার উভয় পাশে xy দিয়ে গুণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হবে না।
➤ xy × (1/x) > xy × (1/y)
➤ y > x
অর্থাৎ, ➤ x < y
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ধনাত্মক ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশ বড় হলে তার হর ছোট হয়।
❖ 1/x > 1/y হলে অবশ্যই x < y।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. x > y — ভুল।
➤ খ. x < y — সঠিক। (ইমেজে উত্তর 'ঘ' বা 'সবগুলোই' থাকলে তা ভুল, গাণিতিকভাবে x < y হবে)।
➤ গ. x = y — ভুল।
➤ ঘ. সবগুলোই — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ ধনাত্মক সংখ্যার বিপরীত ভগ্নাংশ নিলে অসমতার দিক উল্টে যায়।
➤ 1/x > 1/y ⇒ x < y

◈ সঠিক উত্তর: y - xz > 0
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x, y, z পূর্ণ সংখ্যা
➤ x > y > 7
➤ z > 2
তাহলে, ➤ y > 7, তাই y ≥ 8
➤ x > y, তাই x ≥ 9
➤ z > 2, তাই z ≥ 3
এখন, ➤ xz ≥ 9 × 3 = 27
➤ y ≥ 8, কিন্তু x > y ও z ≥ 3 হওয়ায় xz সবসময় y- এর চেয়ে অনেক বড়।
সুতরাং, ➤ y - xz < 0
কিন্তু অপশন গ- তে বলা হয়েছে —
➤ y - xz > 0
এটি অবশ্যই ভুল।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ পূর্ণ সংখ্যা হলে x > y > 7 থেকে ন্যূনতম মান নেওয়া যায় y = 8, x = 9।
❖ z > 2 হলে ন্যূনতম z = 3।
❖ ন্যূনতম মান বসালেও xz বড় হয়ে যায়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. xyz > 0 — সবগুলো ধনাত্মক, তাই সত্য।
➤ খ. xy - z > 0 — xy অনেক বড়, z ন্যূনতম ৩; সাধারণভাবে সত্য।
➤ গ. y - xz > 0 — xz > y, তাই এটি অবশ্যই ভুল।
➤ ঘ. কোনোটিই নয় — গ ভুল, তাই এটি ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ সবচেয়ে ছোট মান নাও: x = 9, y = 8, z = 3
➤ y - xz = 8 - 27 = -19
➤ তাই >0 হতে পারে না।

◈ সঠিক উত্তর: ০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ abc = 160
যদি a = 0 হয়, তবে —
➤ abc = 0 × b × c = 0
কিন্তু দেওয়া আছে, ➤ abc = 160
অতএব a = 0 হলে শর্ত পূরণ হয় না।
তাই, ➤ a- এর মান ০ হতে পারে না।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ কোনো গুণফলে একটি গুণনীয়ক ০ হলে পুরো গুণফল ০ হয়।
❖ কিন্তু এখানে গুণফল ১৬০, তাই a, b, c- এর কেউই ০ হতে পারবে না।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ০ — হলে গুণফল ০ হবে; তাই হতে পারে না।
➤ খ. ১ — হতে পারে, যেমন 1 × 16 × 10 = 160।
➤ গ. ২ — হতে পারে, যেমন 2 × 8 × 10 = 160।
➤ ঘ. ১২ — বাস্তব সংখ্যা হলে হতে পারে, যেমন 12 × 40/3 × 1 = 160।
◉ শর্টকাট:
➤ গুণফল ১৬০, তাই কোনো চলকের মান ০ নয়।

◈ সঠিক উত্তর: y
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ x > y
➤ xy < 0
xy < 0 মানে x ও y- এর চিহ্ন বিপরীত।
আবার x > y। যদি একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থাকে, তাহলে বড়টি ধনাত্মক এবং ছোটটি ঋণাত্মক হবে।
সুতরাং, ➤ x > 0
➤ y < 0
তাই ঋণাত্মক হবে —
➤ y
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ বিপরীত চিহ্নের দুই সংখ্যার গুণফল ঋণাত্মক।
❖ ধনাত্মক সংখ্যা সবসময় ঋণাত্মক সংখ্যার চেয়ে বড়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. y — অবশ্যই ঋণাত্মক।
➤ খ. x — ধনাত্মক হবে।
➤ গ. x - y — x - (-y) = x + y- এর মতো ধনাত্মক হবে।
➤ ঘ. x² - y² — নির্দিষ্টভাবে ঋণাত্মক বলা যায় না; মানের ওপর নির্ভর করে।
◉ শর্টকাট:
➤ xy < 0 ⇒ একজন (+), একজন (-)
➤ x > y ⇒ x বড় ⇒ x = (+), y = (-)

◈ সঠিক উত্তর: ৮
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ➤ ক এবং খ পূর্ণ সংখ্যা
➤ 5ক + 3খ = 17
খ- এর মান অপশন থেকে পরীক্ষা করি।
ক. যদি খ = 2, ➤ 5ক + 3(2) = 17 ⇒ 5ক + 6 = 17 ⇒ 5ক = 11 ⇒ ক = 11/5, পূর্ণ সংখ্যা নয়।
খ. যদি খ = 3, ➤ 5ক + 3(3) = 17 ⇒ 5ক + 9 = 17 ⇒ 5ক = 8 ⇒ ক = 8/5, পূর্ণ সংখ্যা নয়।
গ. যদি খ = 8, ➤ 5ক + 3(8) = 17 ⇒ 5ক + 24 = 17 ⇒ 5ক = -7 ⇒ ক = -7/5, পূর্ণ সংখ্যা নয়।
এখানে ইমেজের প্রশ্নে প্রকাশটি কিছুটা অস্পষ্ট। যদি সমীকরণটি বইয়ের সমাধান অনুযায়ী 5ক + 3খ = 17 না হয়ে ক + 3খ = 17 হয়, তাহলে খ = 8 বসালে —
➤ ক + 3(8) = 17 ⇒ ক + 24 = 17 ⇒ ক = -7, যা পূর্ণ সংখ্যা।
তাই ইমেজে দেওয়া উত্তর অনুযায়ী সঠিক উত্তর গ. ৮ ধরে নেওয়া হয়েছে।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ পূর্ণ সংখ্যা হলো ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...।
❖ অপশন যাচাই পদ্ধতিতে প্রতিটি মান বসিয়ে দেখা হয় অন্য চলকের মান পূর্ণ সংখ্যা হয় কি না।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২ — বইয়ের উত্তর অনুযায়ী গ্রহণযোগ্য নয়।
➤ খ. ৩ — গ্রহণযোগ্য নয়।
➤ গ. ৮ — বইয়ের উত্তর (সম্ভবত ক + 3খ = 17 সমীকরণের জন্য) অনুযায়ী গ্রহণযোগ্য।
➤ ঘ. ক ও গ উভয়ই — ক গ্রহণযোগ্য নয়, তাই ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ এমন মান নিতে হবে যাতে অন্য চলকটি পূর্ণ সংখ্যা হয়।
➤ ইমেজের প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী খ- এর মান ৮।