লগারিদম

"◈ সঠিক উত্তর: জন নেপিয়ার
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ লগারিদমের জনক হিসেবে John Napier পরিচিত।
❖ গণনায় বড় গুণ, ভাগ, ঘাত ইত্যাদি সহজ করার জন্য লগারিদম ব্যবহৃত হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. নিউটন: ক্যালকুলাস ও পদার্থবিজ্ঞানে বিখ্যাত, লগারিদম প্রবর্তক নন।
➤ খ. প্রসপার একার্ট: লগারিদমের প্রবর্তক নন।
➤ গ. জন মউসলি: কম্পিউটার/ইলেকট্রনিক ইতিহাসে সম্পর্কিত নাম, লগারিদম নয়।
➤ ঘ. জন নেপিয়ার: সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ লগারিদম = Napier মনে রাখুন।"

◈ সঠিক উত্তর: log_a(m) - log_a(n)
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
লগারিদমের ভাগের সূত্র অনুযায়ী,
➤ log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)
শর্ত:
➤ a>0, a≠1
➤ m>0, n>0
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ভাগ লগে গেলে বিয়োগ হয়।
❖ গুণ লগে গেলে যোগ হয়: log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. সঠিক।
➤ খ. এটি গুণের সূত্রের জন্য।
➤ গ. লগের ভাগের সূত্র নয়।
➤ ঘ. ভুল, কারণ ক সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ ভাগ = বিয়োগ।

◈ সঠিক উত্তর: a>0, a≠1
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,
➤ log_a(a) = 1
কারণ,
➤ a¹ = a
কিন্তু ভিত্তি a-এর শর্ত:
➤ a>0
➤ a≠1
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. a>0: অসম্পূর্ণ, কারণ a≠1 দরকার।
➤ খ. a≠1: অসম্পূর্ণ, কারণ a>0 দরকার।
➤ গ. a≠0, a>1: এটি যথেষ্ট হলেও সম্পূর্ণ সাধারণ শর্ত নয়; 0<a<1 হলেও লগ সংজ্ঞায়িত।
➤ ঘ. a>0, a≠1: সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ লগের ভিত্তির মূল শর্ত: a>0, a≠1।

◈ সঠিক উত্তর: x>0
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ ln x সংজ্ঞায়িত হবে যখন x>0
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ logarithm-এর argument অবশ্যই ধনাত্মক হতে হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. x=0 অন্তর্ভুক্ত, তাই ভুল।
➤ খ. সঠিক।
➤ গ. ঋণাত্মক হলে log হয় না।
➤ ঘ. ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ ln x দেখলেই শর্ত: x>0

◈ সঠিক উত্তর: 6
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ log_2(64)
➤ 64 = 2⁶
➤ log_2(64) = 6
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ যে ঘাতে 2 দিলে 64 হয়, সেটিই log_2(64)।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 5 — 2⁵=32
➤ খ. 4 — ভুল।
➤ গ. 3 — ভুল।
➤ ঘ. 6 — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ 64 = 2⁶ ⇒ 6

◈ সঠিক উত্তর: 3
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 8 = 2³
➤ log_2(8) = log_2(2³) = 3
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 4 — ভুল।
➤ খ. 3 — সঠিক।
➤ গ. 2 — ভুল।
➤ ঘ. 1 — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 2³ = 8 ⇒ 3

◈ সঠিক উত্তর: 3
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 343 = 7³
➤ log_7(343) = log_7(7³) = 3
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 1 — ভুল।
➤ খ. 2 — ভুল।
➤ গ. 3 — সঠিক।
➤ ঘ. 4 — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 7³ = 343 ⇒ 3

◈ সঠিক উত্তর: -2
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 1/9 = 3^{-2}
➤ log_3(1/9) = log_3(3^{-2})
➤ = -2
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 2 — চিহ্ন ভুল।
➤ খ. 3 — ভুল।
➤ গ. -2 — সঠিক।
➤ ঘ. -3 — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 1/9 = 3^{-2} ⇒ উত্তর -2

◈ সঠিক উত্তর: -3
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 0.001 = 1/1000 = 1/10³ = 10^{-3}
তাই,
➤ log_10(0.001) = log_10(10^{-3})
➤ = -3 log_10(10)
➤ = -3 × 1
➤ = -3
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ log_a(aⁿ) = n
❖ দশমিক ভগ্নাংশকে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করলে লগ সহজ হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. -2: হলে মান 0.01 হতো।
➤ খ. -3: সঠিক।
➤ গ. 1/2: ভুল।
➤ ঘ. 1/3: ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 0.001-এ দশমিকের পরে ৩ ঘর ⇒ 10^{-3} ⇒ উত্তর -3।

◈ সঠিক উত্তর: 7
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ 128 = 2⁷
তাই,
➤ log_2(128) = log_2(2⁷)
➤ = 7 log_2(2)
➤ = 7
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ লগের মান বের করার মূল কথা: ভিত্তির কত ঘাত দিলে সংখ্যা পাওয়া যায়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 5: 2⁵=32, ভুল।
➤ খ. 6: 2⁶=64, ভুল।
➤ গ. 7: 2⁷=128, সঠিক।
➤ ঘ. 8: 2⁸=256, ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 2⁷ = 128, তাই উত্তর 7।