অনুক্রম ও ধারা

"◈ সঠিক উত্তর: ৫.৫০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যা হলো—
➤ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০
গড়ের সূত্র,
➤ গড় = মোট যোগফল ÷ সংখ্যা
তাই,
➤ যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০
➤ = ৫৫
এখন,
➤ গড় = ৫৫ ÷ ১০
➤ = ৫.৫০
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ স্বাভাবিক সংখ্যা সাধারণত ১ থেকে শুরু হয়: ১, ২, ৩, ৪, …
❖ গড় মানে সব সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫ — ভুল; এটি ১–৯ এর গড় হতে পারে, কিন্তু ১–১০ এর নয়।
➤ খ. ৫.৫০ — সঠিক।
➤ গ. ১০ — ভুল; এটি শেষ পদ, গড় নয়।
➤ ঘ. ৫৫.৫০ — ভুল; গড় এত বড় হতে পারে না, কারণ সব সংখ্যা ১ থেকে ১০ এর মধ্যে।
◉ শর্টকাট:
ক্রমিক সংখ্যার গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ) ÷ ২
➤ = (১ + ১০) ÷ ২
➤ = ১১ ÷ ২
➤ = ৫.৫০"

◈ সঠিক উত্তর: ৫.৫০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যা হলো—
➤ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০
গড়ের সূত্র,
➤ গড় = মোট যোগফল ÷ সংখ্যা
তাই,
➤ যোগফল = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০
➤ = ৫৫
এখন,
➤ গড় = ৫৫ ÷ ১০
➤ = ৫.৫০
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ স্বাভাবিক সংখ্যা সাধারণত ১ থেকে শুরু হয়: ১, ২, ৩, ৪, …
❖ গড় মানে সব সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫ — ভুল; এটি ১–৯ এর গড় হতে পারে, কিন্তু ১–১০ এর নয়।
➤ খ. ৫.৫০ — সঠিক।
➤ গ. ১০ — ভুল; এটি শেষ পদ, গড় নয়।
➤ ঘ. ৫৫.৫০ — ভুল; গড় এত বড় হতে পারে না, কারণ সব সংখ্যা ১ থেকে ১০ এর মধ্যে।
◉ শর্টকাট:
ক্রমিক সংখ্যার গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ) ÷ ২
➤ = (১ + ১০) ÷ ২
➤ = ১১ ÷ ২
➤ = ৫.৫০

◈ সঠিক উত্তর: ৪১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
◈ গাণিতিক সমাধান:
ধারাটি হলো—
➤ ১, ৫, ৯, ১৩, …, ৮১
প্রথম পদ,
➤ a = ১
শেষ পদ,
➤ l = ৮১
গড়,
➤ = (a + l) ÷ ২
➤ = (১ + ৮১) ÷ ২
➤ = ৮২ ÷ ২
➤ = ৪১
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression বা AP)।
❖ ধারাটির সাধারণ অন্তর,
➤ d = ৫ − ১ = ৪
❖ সমান্তর ধারার সব পদের গড় সর্বদা প্রথম ও শেষ পদের গড়ের সমান।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৪১ — সঠিক।
➤ খ. ৩৯ — ভুল; প্রথম ও শেষ পপদের মাঝামাঝি নয়।
➤ গ. ৪২ — ভুল; প্রকৃত গড়ের চেয়ে ১ বেশি।
➤ ঘ. ৪০ — ভুল; প্রকৃত গড়ের চেয়ে ১ কম।
◉ শর্টকাট:
➤ প্রথম পদ ১ এবং শেষ পদ ৮১
➤ মাঝামাঝি মান = (১ + ৮১) ÷ ২ = ৪১

◈ সঠিক উত্তর: ৩১
✦ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
◈ গাণিতিক সমাধান:
ধারাটি হলো—
➤ ০, ২, ৪, ৬, …
প্রথম পদ,
➤ a = ০
সাধারণ অন্তর,
➤ d = ২
প্রদত্ত,
➤ Tₙ = ৬০
সূত্র,
➤ Tₙ = a + (n − ১)d
মান বসাই,
➤ ৬০ = ০ + (n − ১) × ২
➤ ৬০ = ২(n − ১)
➤ n − ১ = ৩০
➤ n = ৩১
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ০ হলো এই ধারার প্রথম পদ।
❖ অনেকেই ০-কে বাদ দিয়ে ৬০-কে ৩০তম পদ ভাবতে পারেন; কিন্তু এখানে ০-ও একটি পদ।
তাই ৬০ হলো ৩১তম পদ।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২৯ — ভুল; ২৯তম পদ = ৫৬।
➤ খ. ৩০ — ভুল; ৩০তম পদ = ৫৮।
➤ গ. ৩১ — সঠিক; ৩১তম পদ = ৬০।
➤ ঘ. ৩২ — ভুল; ৩২তম পদ = ৬২।
◉ শর্টকাট:
➤ ০ থেকে শুরু হওয়া জোড় সংখ্যার ধারায় ৬০-এর অবস্থান = ৬০ ÷ ২ + ১
➤ = ৩০ + ১
➤ = ৩১তম

◈ সঠিক উত্তর: ৫০৫০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ ধারাটি: ১ + ২ + ৩ + … + ১০০
➤ n = ১০০
➤ সূত্র: যোগফল = n(n+1)/2
➤ = ১০০(১০০ + ১) / ২
➤ = ১০০ × ১০১ / ২
➤ = ৫০ × ১০১
➤ = ৫০৫০
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ এটি স্বাভাবিক সংখ্যার ধারার সমষ্টি।
❖ ধারার সাধারণ অন্তর ১।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৪৯৯৯ — ভুল।
➤ খ. ৫৫০১ — বেশি।
➤ গ. ৫০৫০ — সঠিক।
➤ ঘ. ৫০০১ — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ ১ থেকে ১০০ = ১০০ × ১০১ ÷ ২ = ৫০৫০

◈ সঠিক উত্তর: ৯২৫
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথম পদ, a = ১
➤ সাধারণ অন্তর, d = ৩
➤ শেষ পদ, l = ৭৩
পদ সংখ্যা,
➤ n = (l − a)/d + ১
➤ n = (৭৩ − ১)/৩ + ১
➤ n = ৭২/৩ + ১
➤ n = ২৪ + ১
➤ n = ২৫
সমান্তর ধারার যোগফল,
➤ S = n/2(a+l)
➤ S = ২৫/২ × (১ + ৭৩)
➤ S = ২৫/২ × ৭৪
➤ S = ২৫ × ৩৭
➤ S = ৯২৫
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ সমান্তর ধারা হলো এমন ধারা যেখানে পরপর দুই পদের পার্থক্য সমান।
❖ এখানে ৪−১ = ৩, ৭−৪ = ৩, ১০−৭ = ৩।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৯২৫ — সঠিক।
➤ খ. ১০২৫ — বেশি।
➤ গ. ১১২৫ — বেশি।
➤ ঘ. ১২২৫ — বেশি।
◉ শর্টকাট:
➤ পদ সংখ্যা = ২৫
➤ গড় = (১ + ৭৩)/২ = ৩৭
➤ যোগফল = ২৫ × ৩৭ = ৯২৫

◈ সঠিক উত্তর: ৮৬১
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ প্রথম পদ, a = ১
➤ সাধারণ অন্তর, d = ৪
➤ শেষ পদ, l = ৮১
পদ সংখ্যা,
➤ n = (৮১ − ১)/৪ + ১
➤ n = ৮০/৪ + ১
➤ n = ২০ + ১
➤ n = ২১
যোগফল,
➤ S = n/2(a+l)
➤ S = ২১/২ × (১ + ৮১)
➤ S = ২১/২ × ৮২
➤ S = ২১ × ৪১
➤ S = ৮৬১
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ধারাটি সমান্তর ধারা।
❖ কারণ ৫−১ = ৪, ৯−৫ = ৪; অর্থাৎ সাধারণ অন্তর ৪।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৯৬১ — বেশি।
➤ খ. ৮৬১ — সঠিক।
➤ গ. ৭৬১ — কম।
➤ ঘ. ৬৬১ — কম।
◉ শর্টকাট:
➤ পদ সংখ্যা = ২১
➤ গড় = (১ + ৮১)/২ = ৪১
➤ যোগফল = ২১ × ৪১ = ৮৬১

◈ সঠিক উত্তর: ১৯০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রথম ১৯টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল,
➤ Sₙ = n(n+১)/২
এখানে,
➤ n = ১৯
তাই,
➤ S₁₉ = ১৯(১৯ + ১)/২
➤ = ১৯ × ২০ / ২
➤ = ১৯ × ১০
➤ = ১৯০
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ১ থেকে n পর্যন্ত যোগফলের সূত্র হলো n(n+১)/২।
❖ এখানে ১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মোট ১৯টি পদ আছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ১৮০ — ভুল
➤ খ. ১৮৪ — ভুল
➤ গ. ১৮৮ — ভুল
➤ ঘ. ১৯০ — সঠিক
◉ শর্টকাট:
➤ ১ থেকে ১৯ পর্যন্ত জোড়া: ১+১৯=২০, ২+১৮=২০
➤ এমন ৯ জোড়া = ১৮০, মাঝের পদ ১০
➤ মোট = ১৮০ + ১০ = ১৯০

◈ সঠিক উত্তর: ৫৪৫৬
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
➤ ১² + ৩² + ৫² + … + ৩১²
এগুলো প্রথম ১৬টি বিজোড় সংখ্যার বর্গ, কারণ—
➤ ৩১ = 2n − 1
➤ 2n − 1 = ৩১
➤ 2n = ৩২
➤ n = ১৬
প্রথম nটি বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফল,
➤ n(2n−1)(2n+1)/৩
মান বসাই,
➤ S = ১৬ × ৩১ × ৩৩ / ৩
➤ = ১৬ × ৩১ × ১১
➤ = ১৬ × ৩৪১
➤ = ৫৪৫৬
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ১, ৩, ৫, …, ৩১ হলো বিজোড় সংখ্যার ধারা।
❖ এখানে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফল চাওয়া হয়েছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫৪৫৮ — ভুল
➤ খ. ৫৪৫৬ — সঠিক
➤ গ. ৫৪৫৪ — ভুল
➤ ঘ. ৫৪৫২ — ভুল
◉ শর্টকাট:
➤ শেষ বিজোড় সংখ্যা ৩১ হলে n = (৩১+১)/২ = ১৬
➤ S = n(2n−1)(2n+1)/৩
➤ = ১৬ × ৩১ × ৩৩ ÷ ৩ = ৫৪৫৬

◈ সঠিক উত্তর: {n(n+১)/২}²
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রথম nটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল,
➤ ১³ + ২³ + ৩³ + … + n³
এর সূত্র,
➤ {n(n+১)/২}²
অর্থাৎ,
➤ প্রথম nটি সংখ্যার যোগফলকে বর্গ করলেই ঘনের যোগফল পাওয়া যায়।
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ঘন মানে কোনো সংখ্যাকে তিনবার গুণ করা।
➤ ২³ = ২ × ২ × ২ = ৮
❖ একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র:
➤ ১³+২³+…+n³ = (১+২+…+n)²
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. n(n+১)/২ — ১+২+…+n এর যোগফল
➤ খ. {n(n+১)/২}² — সঠিক
➤ গ. n(n+১)(2n+১)/৬ — বর্গের যোগফল
➤ ঘ. n(n+১)²/৪ — সঠিক সূত্র নয়
◉ শর্টকাট:
➤ ঘনের যোগফল = স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের বর্গ
➤ ১³+২³+…+n³ = {n(n+১)/২}²