সেট ও ফাংশন

"◈ সঠিক উত্তর: 1
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
➤ স্বাভাবিক সংখ্যা সাধারণত 1, 2, 3, 4, …
➤ তাই স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য 1।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 2 — 1-এর পরের স্বাভাবিক সংখ্যা।
➤ খ. 1 — সঠিক।
➤ গ. 3 — ক্ষুদ্রতম নয়।
➤ ঘ. 0 — অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যায় থাকে, কিন্তু প্রচলিত স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সদস্য নয়।
◉ শর্টকাট:
➤ N = {1, 2, 3, …}
➤ ক্ষুদ্রতম = 1"

◈ সঠিক উত্তর: অসীম
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
➤ মৌলিক সংখ্যা হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা, যার গুণনীয়ক শুধু ১ ও নিজে।
➤ যেমন: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
➤ মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা শেষ হয় না, তাই সেটটি অসীম সেট।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. সসীম — ভুল।
➤ খ. অসীম — সঠিক।
➤ গ. সংযোগ — এটি সেট অপারেশন।
➤ ঘ. ছেদ — এটিও সেট অপারেশন।
◉ শর্টকাট:
➤ Prime numbers never end ⇒ অসীম সেট

◈ সঠিক উত্তর: অসীম সেট
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
➤ ৭-এর গুণিতক: 7, 14, 21, 28, 35, …
➤ এগুলোর কোনো শেষ নেই।
➤ তাই ৭-এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. সসীম সেট — ভুল।
➤ খ. ফাঁকা সেট — ভুল।
➤ গ. সার্বিক সেট — ভুল।
➤ ঘ. অসীম সেট — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ Multiples of 7 continue forever ⇒ অসীম সেট

◈ সঠিক উত্তর: (A∩B)' = A' ∪ B'
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
দ্য মরগানের দুটি সূত্র হলো—
➤ (A ∪ B)' = A' ∩ B'
➤ (A∩B)' = A' ∪ B'
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. A ∪ B = B ∪ A — বিনিময় সূত্র।
➤ খ. A∩B' = A−B — পার্থক্য সূত্র।
➤ গ. (A∩B)' = A' ∪ B' — দ্য মরগানের সূত্র।
➤ ঘ. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — সহযোগ সূত্র।
◉ শর্টকাট:
➤ Complement নিলে Union ↔ Intersection বদলে যায়।
➤ তাই A∩B'=A'∪B'

◈ সঠিক উত্তর: {2, 4}
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
➤ A = {1, 3, 5} ⇒ A′ = {2, 4, 6}
➤ B = {3, 5, 6} ⇒ B′ = {1, 2, 4}
এখন,
➤ A′∩B′ = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 4}
➤ = {2, 4}
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ A′ মানে A-এর পরিপূরক, অর্থাৎ U-এর যেসব উপাদান A-তে নেই।
❖ ∩ মানে common বা সাধারণ উপাদান।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. {1, 2, 4} — এটি B′।
➤ খ. {2, 4} — সঠিক।
➤ গ. {2, 3, 5} — ভুল।
➤ ঘ. {2, 4, 6} — এটি A′।
◉ শর্টকাট:
➤ A′∩B′ = (A ∪ B)′
➤ A ∪ B = {1,3,5,6}
➤ পরিপূরক = {2,4}

◈ সঠিক উত্তর: {2}
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ A = {1,2,3}
➤ B = {2,4,6}
সাধারণ উপাদান,
➤ A ∩ B = {2}
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ Intersection বা ∩ হলো দুই সেটে common থাকা উপাদান।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. {2,4} — 4 A-তে নেই।
➤ খ. {5,6} — ভুল।
➤ গ. {2} — সঠিক।
➤ ঘ. {6} — 6 A-তে নেই।
◉ শর্টকাট:
➤ A ও B দুটোতেই আছে শুধু 2

◈ সঠিক উত্তর: ডি মর্গান সূত্রাবলী
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ ডি মর্গানের সূত্র:
➤ (A ∪ B)′ = A′∩B′
➤ (A∩B)′ = A′ ∪ B′
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. গাউস — সংখ্যা তত্ত্ব/গণিতে বিখ্যাত, এখানে নয়।
➤ খ. ইউক্লিড — জ্যামিতিতে বিখ্যাত।
➤ গ. অয়লার — বিভিন্ন সূত্র আছে, তবে এটি নয়।
➤ ঘ. ডি মর্গান — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ Union-এর complement ⇒ intersection of complements
➤ Intersection-এর complement ⇒ union of complements
➤ নাম: De Morgan

◈ সঠিক উত্তর: A
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ সেট সূত্র:
➤ A ∩ (A ∪ B) = A
➤ A ∪ (A ∩ B) = A
এগুলো Absorption Law বা শোষণ সূত্র।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. A ∪ B — বড় সেট, ভুল।
➤ খ. A∩B — ছোট অংশ, ভুল।
➤ গ. A — সঠিক।
➤ ঘ. B — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ A-এর সাথে A যুক্ত থাকলে ফল অনেক সময় A হয়।

◈ সঠিক উত্তর: ∅
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ কোনো সেটের সাথে শূন্য সেটের intersection করলে ফল শূন্য সেট।
➤ A ∩ ∅ = ∅
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. A — union হলে হতো।
➤ খ. ∅-কে উপাদান হিসেবে নেওয়া ভুল।
➤ গ. ∅ — সঠিক।
➤ ঘ. ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ A∩∅ = ∅

◈ সঠিক উত্তর: {35,105}
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
৩৪৬ ও ৫৫৬—উভয় ক্ষেত্রে অবশিষ্ট ৩১।
তাই ভাজক হবে:
➤ ৩৪৬ − ৩১ = ৩১৫
➤ ৫৫৬ − ৩১ = ৫২৫
সাধারণ ভাজক লাগবে।
➤ gcd(315,525) = 105
সুতরাং সম্ভাব্য ভাজকগুলো ১০৫-এর গুণনীয়ক এবং ৩১-এর বেশি হতে হবে।
➤ ৩৫ ও ১০৫ দুটোই কাজ করে।
তাই সেট = {35,105}
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 315, 45 — 315 দ্বারা 525 বিভাজ্য নয়।
➤ খ. 45,63 — 525 বা 315 উভয়ের common divisor নয়।
➤ গ. {35,105} — সঠিক।
➤ ঘ. {75,525} — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ 346 − 31=315, 556 − 31=525
➤ common divisor অপশনে = 35,105