বিন্যাস ও সমাবেশ

"◈ সঠিক উত্তর: 1
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
ফ্যাক্টরিয়ালের গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম হলো—
➤ 0! = 1
এটি বিন্যাসের সূত্র থেকেও বোঝা যায়:
➤ nPr = n! / (n-r)!
যদি r=n হয়,
➤ nPn = n! / (n-n)!
➤ nPn = n! / 0!
আবার,
➤ nPn = n!
তাই,
➤ n! / 0! = n!
➤ সুতরাং, 0! = 1
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ Factorial বা ! মানে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে ১ পর্যন্ত সব সংখ্যার গুণফল।
➤ 5! = 5×4×3×2×1 = 120
❖ তবে বিশেষ নিয়ম হিসেবে—
➤ 0! = 1
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 1 — সঠিক।
➤ খ. +1 — মানের দিক থেকে 1 হলেও পরীক্ষার উত্তরসূচিতে ক দেওয়া।
➤ গ. 0 — ভুল; 0! কখনো 0 নয়।
➤ ঘ. −2 — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ মনে রাখুন: 0! = 1
➤ এটি বিন্যাস-সমাবেশের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বেসিক সূত্র।"

◈ সঠিক উত্তর: n!/(n−r)!
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
➤ ⁿPᵣ হলো Permutation/বিন্যাস।
➤ nটি ভিন্ন বস্তু থেকে rটি নিয়ে সাজানোর সংখ্যা:
➤ ⁿPᵣ = n!/(n−r)!
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. n!/(n−r)! — সঠিক।
➤ খ. n!/[r!(n−r)!] — এটি ⁿCᵣ বা সমাবেশ।
➤ গ. n!/r! — ভুল।
➤ ঘ. (n−r)!/r! — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ P মানে Position/Permutation ⇒ n!/(n−r)!

◈ সঠিক উত্তর: ৪৯৮৯৬০০
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ MATHEMATICS শব্দে মোট বর্ণ = ১১টি
➤ M আছে ২টি, A আছে ২টি, T আছে ২টি
তাই সাজানোর সংখ্যা,
➤ = ১১! / (২! × ২! × ২!)
➤ = ৩৯৯১৬৮০০ / ৮
➤ = ৪৯৮৯৬০০
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৪৯৮৯৬০০ — সঠিক।
➤ খ. ৪৯৬০০৮৯ — ভুল।
➤ গ. ৬০০৪৯৮৯ — ভুল।
➤ ঘ. ৮৯৪৯৬০০ — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ মোট factorial ÷ পুনরাবৃত্ত বর্ণের factorial
➤ ১১! ÷ ৮ = ৪৯৮৯৬০০

◈ সঠিক উত্তর: ২ গুণ
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
AMERICA শব্দে মোট ৭টি বর্ণ, A আছে ২টি।
➤ বিন্যাস সংখ্যা = ৭! / ২! = ২৫২০
CALCUTTA শব্দে মোট ৮টি বর্ণ, A আছে ২টি, C আছে ২টি, T আছে ২টি।
➤ বিন্যাস সংখ্যা = ৮! / (২! × ২! × ২!)
➤ = ৪০৩২০ / ৮
➤ = ৫০৪০
তাই,
➤ CALCUTTA / AMERICA = ৫০৪০ / ২৫২০
➤ = ২
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২ — সঠিক।
➤ খ. ৪ — বেশি।
➤ গ. ৩ — ভুল।
➤ ঘ. ৫ — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ CALCUTTA = ৫০৪০, AMERICA = ২৫২০
➤ অনুপাত = ২

◈ সঠিক উত্তর: ১৩৫
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
AMERICA শব্দে A আছে ২টি, বাকি ভিন্ন বর্ণ ৫টি: M, E, R, I, C।
৩ অক্ষরের শব্দ তিনভাবে হবে—
➤ A ছাড়া ৫টি ভিন্ন বর্ণ থেকে ৩টি: = ⁵P₃ = ৫ × ৪ × ৩ = ৬০
➤ একটি A নিয়ে বাকি ৫টি থেকে ২টি: = ৩টি অবস্থানে A × ⁵P₂ = ৩ × ২০ = ৬০
➤ দুইটি A নিয়ে বাকি ৫টি থেকে ১টি: = ৫ × (৩! / ২!) = ৫ × ৩ = ১৫
সর্বমোট,
➤ ৬০ + ৬০ + ১৫
➤ = ১৩৫
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ১৩০ — কম।
➤ খ. ১৩৫ — সঠিক।
➤ গ. ১৪০০ — অনেক বেশি।
➤ ঘ. ১৪৫ — বেশি।
◉ শর্টকাট:
➤ Case: A নেই, ১টি A, ২টি A
➤ ৬০ + ৬০ + ১৫ = ১৩৫

◈ সঠিক উত্তর: ২টি
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ অঙ্ক: ২, ৩, ৪
➤ বিজোড় সংখ্যা হতে একক স্থানে বিজোড় অঙ্ক থাকতে হবে।
➤ এখানে একমাত্র বিজোড় অঙ্ক = ৩
তাই একক স্থানে ৩ স্থির।
➤ বাকি ২ ও ৪ শতক ও দশকে বসবে ২! উপায়ে
➤ = ২টি
সংখ্যা:
➤ ২৪৩, ৪২৩
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২টি — সঠিক।
➤ খ. ৫টি — ভুল।
➤ গ. ৬টি — সব permutation, কিন্তু সব বিজোড় নয়।
➤ ঘ. ৭টি — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ Odd number ⇒ একক ঘরে ৩
➤ বাকি ২ অঙ্ক ⇒ ২! = ২

◈ সঠিক উত্তর: ১২টি
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: অঙ্কগুলো 1, 2, 3, 4 এবং ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে।
3000 অপেক্ষা বড় হতে হলে প্রথম অঙ্ক হতে হবে 3 অথবা 4।
➤ প্রথম অঙ্ক 3 হলে বাকি ৩টি অঙ্ক সাজানো যাবে = 3! = 6 ভাবে
➤ প্রথম অঙ্ক 4 হলে বাকি ৩টি অঙ্ক সাজানো যাবে = 3! = 6 ভাবে
⇒ মোট সংখ্যা = 6 + 6 = 12 টি
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ কোনো সংখ্যা 3000-এর বড় করতে হলে হাজারের ঘরের অঙ্ক কমপক্ষে 3 হতে হবে।
এখানে 3 ও 4—দুইটি সম্ভাবনা আছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৮টি — কম।
➤ খ. ১২টি — সঠিক।
➤ গ. ১৬টি — সব সম্ভাবনা ধরা হয়নি।
➤ ঘ. ১৮টি — অতিরিক্ত।
◉ শর্টকাট:
➤ প্রথম ঘর = 2 ভাবে
➤ বাকি = 3!
➤ মোট = 2 × 6 = 12

◈ সঠিক উত্তর: ৯৬
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
মোট অঙ্ক = ৫টি: 0, 1, 2, 3, 4
সব অঙ্ক দিয়ে মোট বিন্যাস = 5! = 120
কিন্তু 0 প্রথমে থাকলে সংখ্যা পাঁচ অঙ্কের হবে না।
➤ 0 প্রথমে স্থির রাখলে বাকি ৪টি অঙ্ক সাজানো যাবে = 4! = 24 ভাবে
⇒ অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা = 120 − 24 = 96 টি
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ পাঁচ অঙ্কের সংখ্যার প্রথম অঙ্ক কখনো 0 হতে পারে না।
❖ যেমন 01234 আসলে 1234, অর্থাৎ চার অঙ্কের সংখ্যা।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২৪ — শুধু 0 দিয়ে শুরু হওয়া ভুল সংখ্যা।
➤ খ. ৯৬ — সঠিক।
➤ গ. ১২০ — 0 প্রথমে বসার ভুল সম্ভাবনাও ধরা হয়েছে।
➤ ঘ. ১৪৪ — অতিরিক্ত।
◉ শর্টকাট:
➤ প্রথম ঘর = ৪ ভাবে
➤ বাকি ৪ ঘর = 4!
➤ মোট = 4 × 24 = 96

◈ সঠিক উত্তর: ৬ উপায়ে
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
A, B, C — ৩টি ভিন্ন বর্ণ।
৩টি ভিন্ন বস্তুর বিন্যাস = 3!
➤ 3! = 3 × 2 × 1
➤ = 6
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
❖ যেমন ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — এগুলো আলাদা।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৩ — কম।
➤ খ. ৪ — ভুল।
➤ গ. ৫ — ভুল।
➤ ঘ. ৬ — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ ৩টি ভিন্ন জিনিস সাজানো = 3! = 6

◈ সঠিক উত্তর: n! / r!(n−r)!
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
সমাবেশের সূত্র:
➤ ⁿCᵣ = n! / r!(n−r)!
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ Combination বা সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।
❖ যেমন A, B, C থেকে AB এবং BA একই ধরা হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. n! / r!(n−r)! — সঠিক।
➤ খ. ⁿPᵣ / (r−1)! — ভুল।
➤ গ. (r−1)! / ⁿPᵣ — ভুল।
➤ ঘ. n! / (n−r)! — এটি বিন্যাসের সূত্র, অর্থাৎ ⁿPᵣ।
◉ শর্টকাট:
➤ Combination = Permutation ÷ r!
➤ তাই ⁿCᵣ = ⁿPᵣ / r!