পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

"◈ সঠিক উত্তর: ৯
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
❖ দেওয়া আছে: ৫, ১১, ১৩, ৭, ৮, ১০
➤ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ১১ + ১৩ + ৭ + ৮ + ১০
➤ = ৫৪
➤ মোট সংখ্যা = ৬
⇒ গড় = মোট যোগফল ÷ মোট সংখ্যা
⇒ ৫৪ ÷ ৬ = ৯
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ গড় বলতে কয়েকটি সংখ্যার সমষ্টিকে সংখ্যার মোট পরিমাণ দিয়ে ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে বোঝায়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৬ — মোট সংখ্যা, গড় নয়।
➤ খ. ৭ — ভুল।
➤ গ. ৮ — কাছাকাছি হলেও যোগফল অনুযায়ী নয়।
➤ ঘ. ৯ — সঠিক।
◉ শর্টকাট:
➤ যোগফল ৫৪, সংখ্যা ৬
➤ গড় = ৫৪ / ৬ = ৯"

◈ সঠিক উত্তর: ৮
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রথমে ৬, ৮, ১০ এর গড় বের করি।
➤ গড় = (৬ + ৮ + ১০) ÷ ৩
➤ = ২৪ ÷ ৩
➤ = ৮
এখন ৭, ৯ এবং x এর গড়ও ৮ হবে।
➤ (৭ + ৯ + x) ÷ ৩ = ৮
➤ ১৬ + x = ২৪
➤ x = ২৪ − ১৬
➤ x = ৮
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ দুই সেট সংখ্যার গড় সমান হলে তাদের মোট যোগফলও সমান হবে, যদি সংখ্যা-পরিমাণ সমান হয়।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৫ — দিলে গড় হবে ৭।
➤ খ. ৮ — সঠিক।
➤ গ. ৬ — দিলে গড় হবে ২২/৩।
➤ ঘ. ১০ — দিলে গড় হবে ২৬/৩।
◉ শর্টকাট:
➤ ৬, ৮, ১০ এর গড় = ৮
➤ তাই ৭, ৯, x এর মোট = ২৪
➤ x = ৮

◈ সঠিক উত্তর: ৭৭
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
এই সংখ্যাগুলো সমদূরবর্তী:
➤ ৭৩, ৭৫, ৭৭, ৭৯, ৮১
মাঝের সংখ্যা = ৭৭
তাই গড় = ৭৭
সাধারণভাবে,
➤ যোগফল = ৭৩ + ৭৫ + ৭৭ + ৭৯ + ৮১ = ৩৮৫
➤ গড় = ৩৮৫ ÷ ৫ = ৭৭
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ সমদূরবর্তী বিজোড় সংখ্যক সংখ্যার গড় মাঝের সংখ্যার সমান।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৭৫ — দ্বিতীয় সংখ্যা।
➤ খ. ৭৬ — ভুল।
➤ গ. ৭৭ — সঠিক।
➤ ঘ. ৭৮ — ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ সমদূরবর্তী ৫টি সংখ্যা → মাঝেরটি = ৭৭

◈ সঠিক উত্তর: 1.90
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
দেওয়া আছে—
➤ 3x + 5y = 14 —— (1)
➤ 5x − 5y = 6 —— (2)
আমাদের দরকার x ও y-এর গড়, অর্থাৎ—
➤ (x+y)/2
(2) নং সমীকরণ থেকে—
➤ 5x − 5y = 6
➤ x − y = 6/5 —— (3)
এখন (1) নং সমীকরণে x = y + 6/5 বসাই—
➤ 3(y + 6/5) + 5y = 14
➤ 3y + 18/5 + 5y = 14
➤ 8y = 14 − 18/5
➤ 8y = 70/5 − 18/5
➤ 8y = 52/5
➤ y = 13/10 = 1.3
এখন,
➤ x = y + 6/5
➤ x = 13/10 + 12/10
➤ x = 25/10 = 2.5
সুতরাং গড়—
➤ (x+y)/2
➤ = (2.5 + 1.3)/2
➤ = 3.8/2
➤ = 1.9
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 3.5 — ভুল।
➤ খ. 3 — ভুল।
➤ গ. 2.5 — এটি x-এর মান।
➤ ঘ. 0.95 — সঠিক (উত্তরে 1.90 দেওয়া আছে)
◉ শর্টকাট:
➤ সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই x=2.5, y=1.3
➤ গড় = (2.5+1.3)/2 = 1.9

◈ সঠিক উত্তর: ৫
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ (4 + 6 + 7 + x)/4 = 5.5
➤ 17 + x = 5.5 × 4
➤ 17 + x = 22
➤ x = 22 − 17
➤ x = 5
✦ টার্ম ব্যাখ্যা:
❖ গড় 5.5 এবং মোট সংখ্যা 4 হলে মোট যোগফল 22 হবে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. 5.5 — দিলে গড় 5.625।
➤ খ. 5 — সঠিক।
➤ গ. 4.5 — দিলে গড় 5.375।
➤ ঘ. 6 — দিলে গড় 5.75।
◉ শর্টকাট:
➤ 5.5 × 4 = 22
➤ 22 − (4+6+7) = 5

◈ সঠিক উত্তর: (A₁+A₂)/2
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ P ও Q-এর গড় A₁, তাই P+Q = 2A₁
➤ X ও Y-এর গড় A₂, তাই X+Y = 2A₂
চারটির গড়,
➤ = (P+Q+X+Y)/4
➤ = (2A₁ + 2A₂)/4
➤ = (A₁+A₂)/2
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৪ দিয়ে ভাগ করেছে, ভুল।
➤ খ. এটি দুই গড়ের যোগফল, চূড়ান্ত গড় নয়।
➤ গ. সঠিক।
➤ ঘ. অপ্রয়োজনীয় ও ভুল রাশি।
◉ শর্টকাট:
➤ দুইটি গড়ই সমান সংখ্যক রাশির, তাই মোট গড় = দুই গড়ের গড়।

◈ সঠিক উত্তর: ৯
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
প্রশ্নে মূল ভাব:
➤ ৩টি সংখ্যার গড় = ৬ ⇒ যোগফল = ১৮
➤ ৩টি সংখ্যা ও ৬ সংখ্যাসহ মোট ৪টি সংখ্যার গড় = ৮ — অর্থাৎ নতুন/চতুর্থ সংখ্যা যোগ করলে গড় ৮
তাহলে ৪টি সংখ্যার যোগফল,
➤ = ৮ × ৪ = ৩২
চতুর্থ সংখ্যা,
➤ = ৩২ − ১৮
➤ = ১৪
চতুর্থ সংখ্যার অর্ধেক,
➤ = ১৪ / ২ = ৭
❖ নোট: ছবির answer key-তে ক দেওয়া আছে, কিন্তু প্রশ্নের লেখা অস্পষ্ট। যদি “৩টি সংখ্যার গড় ৬ এবং ঐ ৩টি সংখ্যাসহ মোট ৪টি সংখ্যার গড় ৯” হয়, তাহলে চতুর্থ সংখ্যা = ৩৬ − ১৮ = ১৮, অর্ধেক = ৯। তাই ইমেজ অনুযায়ী উত্তর ক ধরা হয়েছে।
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৯ — বইয়ের কী অনুযায়ী সঠিক।
➤ খ / গ / ঘ — কী অনুযায়ী নয়।
◉ শর্টকাট:
➤ এই প্রশ্নে মুদ্রণ অস্পষ্ট; answer key অনুযায়ী উত্তর ৯।

◈ সঠিক উত্তর: ৪
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ পুরোনো গড় = ৬
➤ প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করলে গড়ও ২ কমবে।
তাই,
➤ নতুন গড় = ৬ − ২
➤ = ৪
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ২ — বেশি কমানো হয়েছে।
➤ খ. ৪ — সঠিক।
➤ গ. ৫ — ১ কমালে হতো।
➤ ঘ. ৬ — পরিবর্তন হয়নি ধরে ভুল।
◉ শর্টকাট:
➤ প্রত্যেক পদ − ২ ⇒ গড় − ২
➤ ৬ − ২ = ৪

◈ সঠিক উত্তর: ৮০
❖ গাণিতিক সমাধান:
➤ মোট ১০টির যোগফল = ৪০০
➤ প্রথম ৫টির যোগফল = ৫ × ৪০ = ২০০
➤ শেষ ৪টির যোগফল = ৪ × ৩০ = ১২০
এগুলো মোট ৯টি সংখ্যার যোগফল।
➤ ষষ্ঠ সংখ্যা = ৪০০ − ২০০ − ১২০
➤ = ৮০
◉ শর্টকাট:
➤ ষষ্ঠ = মোট − প্রথম ৫ যোগ − শেষ ৪ যোগ
➤ = ৮০

◈ সঠিক উত্তর: ৮৯
❖ বিস্তারিত ব্যাখ্যাঃ
✦ গাণিতিক সমাধান:
➤ ৪ পরীক্ষার গড় = ৮৭
➤ মোট নম্বর লাগবে = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮
➤ প্রথম ৩ পরীক্ষার মোট = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
➤ চতুর্থ পরীক্ষার নম্বর = ৩৪৮ − ২৫৯ = ৮৯
✧ অপশন বিশ্লেষণ:
➤ ক. ৮৯ — সঠিক।
➤ খ. ৮৮ — ১ কম।
➤ গ. ৮৬ — কম।
➤ ঘ. ৯১ — বেশি।
◉ শর্টকাট:
➤ প্রয়োজনীয় নম্বর = ৪ × গড় − আগের মোট
➤ = ৩৪৮ − ২৫৯ = ৮৯।