সাধারণ গণিত-বাস্তব সংখ্যা

◈ সঠিক উত্তর:
১৭

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
বিকল্পগুলো হলো −৮, ৩/৫, ১৭ এবং √২।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
স্বাভাবিক সংখ্যা হলো গণনার সংখ্যা: ১, ২, ৩, ৪, ...। এগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: ১৭ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
➤ Step 2: তাই ১৭ স্বাভাবিক সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

❖ চূড়ান্ত ফল:
১৭ স্বাভাবিক সংখ্যা।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দেখলেই সেটি স্বাভাবিক সংখ্যা হিসেবে শনাক্ত করা যায়।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ -৮ ⇒ এটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা; পূর্ণ সংখ্যা হলেও স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
❖ ৩/৫ ⇒ এটি ভগ্নাংশ বা মূলদ সংখ্যা, কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নয়; তাই স্বাভাবিক সংখ্যাও নয়।
❖ √২ ⇒ এটি অমূলদ সংখ্যা; কোনো পূর্ণসংখ্যা নয়।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
মনে রাখুন: স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গণনার ধারা—১ থেকে শুরু।

◈ সঠিক উত্তর:
মূলদ সংখ্যা ⊂ বাস্তব সংখ্যা

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
সংখ্যার বিভিন্ন সেটের অন্তর্ভুক্তিমূলক সম্পর্ক নির্ণয় করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
স্বাভাবিক সংখ্যা ⊂ পূর্ণ সংখ্যা ⊂ মূলদ সংখ্যা ⊂ বাস্তব সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যাও বাস্তব সংখ্যার অংশ, তবে তা মূলদ নয়।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: মূলদ সংখ্যা p/q আকারে লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ ০।
➤ Step 2: প্রতিটি মূলদ সংখ্যা সংখ্যা রেখায় অবস্থান করে।
➤ Step 3: সংখ্যা রেখার সব সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।

❖ চূড়ান্ত ফল:
মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার উপসেট; অর্থাৎ Q ⊂ R।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
সংখ্যাসেটের ক্রমটি মনে রাখুন: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ বাস্তব সংখ্যা ⊂ মূলদ সংখ্যা ⇒ ভুল; √২, π ইত্যাদি বাস্তব হলেও মূলদ নয়।
❖ মূলদ সংখ্যা ⊂ পূর্ণ সংখ্যা ⇒ ভুল; ১/২, −৩/৭ ইত্যাদি মূলদ হলেও পূর্ণ সংখ্যা নয়।
❖ পূর্ণ সংখ্যা ⊂ স্বাভাবিক সংখ্যা ⇒ ভুল; ০ এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
N থেকে R-এর দিকে গেলে সেট বড় হয়: Natural → Integer → Rational → Real।

◈ সঠিক উত্তর:
৩/১১

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
0.272727... একটি অসীম আবৃত্ত দশমিক, যেখানে 27 বারবার পুনরাবৃত্ত হচ্ছে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
দুই অঙ্কের আবৃত্ত দশমিক 0.abab... = ab/99।
এখানে ab = 27।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: ধরি, x = 0.272727...
➤ Step 2: 100x = 27.272727...
➤ Step 3: বিয়োগ করলে,
100x − x = 27.272727... − 0.272727...
➤ Step 4: 99x = 27
➤ Step 5: x = 27/99 = 3/11

❖ চূড়ান্ত ফল:
0.272727... = ৩/১১। তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
দুই অঙ্ক একসঙ্গে আবৃত্ত হলে সেই অঙ্কদ্বয়কে 99 দিয়ে ভাগ করতে হয়।
অতএব, 0.\overline{27} = 27/99 = 3/11।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ ২৭/১০০ ⇒ এটি 0.27; এখানে দশমিকের পরে 27 পুনরাবৃত্ত হয় না।
❖ ১১/৩ ⇒ এর দশমিক মান 3.666...; প্রদত্ত সংখ্যার সঙ্গে মিল নেই।
❖ ২/৯ ⇒ এর দশমিক মান 0.222...; এখানে শুধু 2 আবৃত্ত হয়, 27 নয়।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
এক অঙ্ক আবৃত্ত হলে 9, দুই অঙ্ক আবৃত্ত হলে 99, তিন অঙ্ক আবৃত্ত হলে 999 দিয়ে ভাগ করুন।

◈ সঠিক উত্তর:
1.414213562...

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
প্রদত্ত চারটি দশমিকের মধ্যে কোনটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক তা নির্ণয় করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
সসীম দশমিক এবং অসীম আবৃত্ত দশমিক মূলদ সংখ্যা।
অসীম অনাবৃত্ত দশমিক অমূলদ সংখ্যা।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: 0.125 ও 2.75 সসীম দশমিক; তাই উভয়ই মূলদ।
➤ Step 2: 0.333... অসীম হলেও 3 অঙ্কটি আবৃত্ত হচ্ছে; তাই এটি মূলদ।
➤ Step 3: 1.414213562... অসীম এবং এর অঙ্কগুলো কোনো নির্দিষ্ট আবৃত্ত চক্রে পুনরাবৃত্ত হচ্ছে না।

❖ চূড়ান্ত ফল:
1.414213562... একটি অমূলদ সংখ্যা।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
দশমিক শেষ হলে বা নির্দিষ্ট অঙ্কবার্তা বারবার এলে মূলদ; শেষ না হলে এবং পুনরাবৃত্তিও না হলে অমূলদ।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ 0.125 ⇒ এটি সসীম দশমিক; 125/1000 আকারে লেখা যায়, তাই মূলদ।
❖ 0.333... ⇒ এটি 1/3-এর দশমিক রূপ; অসীম আবৃত্ত দশমিক হওয়ায় মূলদ।
❖ 2.75 ⇒ এটি সসীম দশমিক; 275/100 = 11/4, তাই মূলদ।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
মনে রাখুন: শেষ হয় = মূলদ, ঘুরে ফিরে আসে = মূলদ, শেষও নয় ও ফিরে আসেও না = অমূলদ।

◈ সঠিক উত্তর:
-√২

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
তুলনা করতে হবে: −√২, −1.41, −1.4 এবং −1.39।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
√২ ≈ 1.4142। ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে যার পরমমান বেশি, সেই সংখ্যা ছোট।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: √২ ≈ 1.4142।
➤ Step 2: সুতরাং, −√২ ≈ −1.4142।
➤ Step 3: এখন তুলনা করলে পাই:
−1.4142 < −1.41 < −1.4 < −1.39।

❖ চূড়ান্ত ফল:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো −√২।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
ঋণাত্মক সংখ্যায় ‘বেশি ঋণাত্মক’ সংখ্যাটিই ছোট। √২ প্রায় 1.414, যা 1.41-এর চেয়ে সামান্য বড়; তাই −√২, −1.41-এর চেয়ে ছোট।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ -1.41 ⇒ এটি −1.4142-এর চেয়ে বড়; তাই ক্ষুদ্রতম নয়।
❖ -1.4 ⇒ এটি −1.41 এবং −√২ উভয়ের চেয়ে বড়।
❖ -1.39 ⇒ প্রদত্ত চারটির মধ্যে সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক সংখ্যার কাছাকাছি; তাই ক্ষুদ্রতম নয়।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
মনে রাখুন: সংখ্যা রেখায় বাম দিকে গেলে সংখ্যা ছোট হয়। ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে বেশি পরমমান মানে বাম দিকে অবস্থান।

◈ সঠিক উত্তর:
ভাগ

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
বাস্তব সংখ্যার ওপর চারটি মৌলিক ক্রিয়ার মধ্যে কোনটিতে বন্ধত্ব বা Closure Property সর্বদা বজায় থাকে তা বিবেচনা করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
Closure Property অনুযায়ী, একটি সেটের দুটি উপাদানের ওপর কোনো ক্রিয়া সম্পন্ন করলে ফল একই সেটে থাকতে হবে।
বাস্তব সংখ্যায় যোগ, বিয়োগ ও গুণের ফল সর্বদা বাস্তব। কিন্তু ০ দিয়ে ভাগ সংজ্ঞায়িত নয়।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: দুটি বাস্তব সংখ্যার যোগফল বাস্তব সংখ্যা।
➤ Step 2: দুটি বাস্তব সংখ্যার বিয়োগফল বাস্তব সংখ্যা।
➤ Step 3: দুটি বাস্তব সংখ্যার গুণফল বাস্তব সংখ্যা।
➤ Step 4: কিন্তু ৫ ÷ ০ সংজ্ঞায়িত নয়।
➤ Step 5: তাই ভাগক্রিয়া বাস্তব সংখ্যার সেটে সর্বদা closure বজায় রাখে না।

❖ চূড়ান্ত ফল:
ভাগক্রিয়ার ক্ষেত্রে বাস্তব সংখ্যার Closure Property সর্বদা প্রযোজ্য নয়।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
যে ক্রিয়ায় ‘০ দিয়ে ভাগ’ হওয়ার সম্ভাবনা থাকে, সেখানে সর্বদা closure বলা যায় না।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ যোগ ⇒ যেকোনো দুটি বাস্তব সংখ্যার যোগফল আবার বাস্তব সংখ্যা; তাই closure আছে।
❖ বিয়োগ ⇒ যেকোনো দুটি বাস্তব সংখ্যার বিয়োগফল বাস্তব সংখ্যা; তাই closure আছে।
❖ গুণ ⇒ যেকোনো দুটি বাস্তব সংখ্যার গুণফল বাস্তব সংখ্যা; তাই closure আছে।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
বাস্তব সংখ্যায় +, −, × নিরাপদ; ÷-এ শুধু শূন্য ভাজক হলেই সমস্যা।

◈ সঠিক উত্তর:
সংযোজন ধর্ম

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
(৭ + ৫) + ৩ = ৭ + (৫ + ৩)।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
যোগের সংযোজন ধর্ম:
(a + b) + c = a + (b + c)
এখানে সংখ্যাগুলোর ক্রম অপরিবর্তিত থাকে, শুধু বন্ধনীর অবস্থান পরিবর্তিত হয়।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: বামপক্ষ: (৭ + ৫) + ৩ = ১২ + ৩ = ১৫।
➤ Step 2: ডানপক্ষ: ৭ + (৫ + ৩) = ৭ + ৮ = ১৫।
➤ Step 3: উভয় ক্ষেত্রে সংখ্যার ক্রম ৭, ৫, ৩-ই আছে; কেবল grouping পরিবর্তিত হয়েছে।

❖ চূড়ান্ত ফল:
প্রদত্ত সমীকরণটি যোগের সংযোজন ধর্ম প্রকাশ করে।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
বন্ধনী বদলালে Associative বা সংযোজন ধর্ম; সংখ্যার স্থান বদলালে Commutative বা বিনিময় ধর্ম।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ বিনিময় ধর্ম ⇒ a + b = b + a; এখানে সংখ্যার অবস্থান পরিবর্তিত হয়। প্রদত্ত উদাহরণে ক্রম পরিবর্তিত হয়নি।
❖ বণ্টন ধর্ম ⇒ a(b + c) = ab + ac; এতে গুণের ওপর যোগ বা বিয়োগের বণ্টন ঘটে। এখানে তা নেই।
❖ যোগের অভেদক ধর্ম ⇒ a + ০ = a; এখানে ০ ব্যবহৃত হয়নি।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
‘বন্ধনী বদল’ = সংযোজন ধর্ম, ‘স্থান বদল’ = বিনিময় ধর্ম।

◈ সঠিক উত্তর:
-৯/৭

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
প্রদত্ত সংখ্যা হলো −৭/৯। এর গুণনীয় বিপরীত নির্ণয় করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
শূন্য ব্যতীত a/b-এর গুণনীয় বিপরীত হলো b/a।
কোনো সংখ্যা ও তার গুণনীয় বিপরীতের গুণফল ১ হয়।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: প্রদত্ত সংখ্যা = −৭/৯।
➤ Step 2: লব ও হর স্থান পরিবর্তন করলে পাই −৯/৭।
➤ Step 3: যাচাই করি:
(−৭/৯) × (−৯/৭) = ১।

❖ চূড়ান্ত ফল:
−৭/৯-এর গুণনীয় বিপরীত হলো −৯/৭।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
ভগ্নাংশের reciprocal বের করতে লব-হর অদলবদল করুন; ঋণাত্মক চিহ্ন অপরিবর্তিত রাখুন।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ ৭/৯ ⇒ এটি −৭/৯-এর যোগনীয় বিপরীত, কারণ (−৭/৯) + (৭/৯) = ০; গুণনীয় বিপরীত নয়।
❖ ৯/৭ ⇒ লব-হর অদলবদল করা হয়েছে, কিন্তু ঋণাত্মক চিহ্ন বাদ পড়েছে; ফলে গুণফল −১ হবে।
❖ ০ ⇒ শূন্যের সঙ্গে গুণ করলে ১ পাওয়া যায় না; তাই ০ কোনো সংখ্যার গুণনীয় বিপরীত নয়।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
যোগনীয় বিপরীতের যোগফল ০, আর গুণনীয় বিপরীতের গুণফল ১।

◈ সঠিক উত্তর:
a(b + c) = ab + ac

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
বাস্তব সংখ্যার বণ্টন ধর্মের গাণিতিক রূপ শনাক্ত করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
বণ্টন ধর্ম অনুযায়ী,
a(b + c) = ab + ac
এবং a(b − c) = ab − ac।
অর্থাৎ বন্ধনীর বাইরের গুণক ভেতরের প্রতিটি পদের সঙ্গে গুণিত হয়।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: a দ্বারা b এবং c উভয়কে গুণ করতে হবে।
➤ Step 2: ফলে a(b + c) = ab + ac হয়।
➤ Step 3: উদাহরণ হিসেবে, ৪(২ + ৩) = ৪ × ৫ = ২০।
➤ Step 4: আবার, ৪×২ + ৪×৩ = ৮ + ১২ = ২০।

❖ চূড়ান্ত ফল:
a(b + c) = ab + ac হলো বণ্টন ধর্মের সঠিক রূপ।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
বন্ধনীর বাইরে গুণ থাকলে সেটি ভেতরের প্রতিটি পদের কাছে ‘বণ্টন’ করুন।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ a + b = b + a ⇒ এটি যোগের বিনিময় ধর্ম; এখানে পদের স্থান পরিবর্তিত হয়েছে।
❖ (a + b) + c = a + (b + c) ⇒ এটি যোগের সংযোজন ধর্ম; এখানে বন্ধনীর অবস্থান পরিবর্তিত হয়েছে।
❖ a + 0 = a ⇒ এটি যোগের অভেদক ধর্ম; ০ যোগ করলে সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকে।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
‘বণ্টন’ মানে বাইরে থাকা গুণকটি বন্ধনীর সব পদের মধ্যে ছড়িয়ে যায়।

◈ সঠিক উত্তর:
৭/৯ এবং মূলদ সংখ্যা

✦ বিস্তারিত সমাধান:

❖ প্রদত্ত তথ্য:
√(৪৯/৮১) এর মান এবং সংখ্যাটির প্রকৃতি নির্ণয় করতে হবে।

❖ প্রয়োজনীয় সূত্র/নীতি:
ধনাত্মক a ও b-এর জন্য,
√(a/b) = √a / √b।
এছাড়া দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা গেলে সংখ্যাটি মূলদ।

❖ ধাপে ধাপে সমাধান:
➤ Step 1: √(৪৯/৮১) = √৪৯ / √৮১।
➤ Step 2: √৪৯ = ৭ এবং √৮১ = ৯।
➤ Step 3: অতএব, √(৪৯/৮১) = ৭/৯।
➤ Step 4: ৭/৯ দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত; তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

❖ চূড়ান্ত ফল:
√(৪৯/৮১) = ৭/৯, যা একটি মূলদ সংখ্যা।

✦ শর্টকাট পদ্ধতি:
লব ও হর উভয়ই পূর্ণবর্গ হলে আলাদাভাবে বর্গমূল নিন: ৪৯ → ৭, ৮১ → ৯।

◉ অন্য অপশনগুলোর বিশ্লেষণ:
❖ ৯/৭ এবং মূলদ সংখ্যা ⇒ লব ও হর উল্টে দেওয়া হয়েছে; এটি √(৮১/৪৯)-এর মান হতো।
❖ ৭/৯ এবং অমূলদ সংখ্যা ⇒ ৭/৯ একটি ভগ্নাংশ; তাই এটি মূলদ, অমূলদ নয়।
❖ ৪৯/৮১ এবং মূলদ সংখ্যা ⇒ ৪৯/৮১ মূলদ হলেও এটি প্রদত্ত সংখ্যার বর্গমূল নয়; বর্গমূল হলো ৭/৯।

✦ মনে রাখার কৌশল / শর্টকাট:
মনে রাখুন: পূর্ণবর্গের অনুপাতের বর্গমূলও সাধারণত লব ও হরের বর্গমূলের অনুপাত হয়।