বাস্তব সংখ্যা (Real Number) হলো সংখ্যারেখায় প্রকাশযোগ্য সব সংখ্যা। স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ ও অমূলদ—সবই বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। আর বাস্তব সংখ্যার সম্প্রসারিত রূপ হলো জটিল সংখ্যা (Complex Number)। এই অংশে BCS-এ বিশেষ গুরুত্ব পেয়েছে বৃহত্তম–ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা, মূলদ–অমূলদ, ii-এর ঘাত এবং মৌলিক–সহমৌলিক সংখ্যা।

🌳 সংখ্যা পদ্ধতির Master Tree

সংখ্যা (Number)
│
├── স্বাভাবিক সংখ্যা, N = {1, 2, 3, 4, ...}
│
├── পূর্ণ সংখ্যা, W = {0, 1, 2, 3, ...}
│
├── পূর্ণসংখ্যা, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
│
├── মূলদ সংখ্যা, Q
│      └── p/q আকারে প্রকাশযোগ্য; q ≠ 0
│
├── অমূলদ সংখ্যা
│      └── p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না
│
└── বাস্তব সংখ্যা, R
       ├── মূলদ
       └── অমূলদ

বাস্তব সংখ্যার সম্প্রসারণ
          ↓
জটিল সংখ্যা, C
          ↓
      z = a + ib

সেটের সম্পর্ক

N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

🔢 অঙ্ক ও সংখ্যা

অঙ্ক (Digit): সংখ্যা লেখার মৌলিক প্রতীক। দশমিক পদ্ধতিতে অঙ্ক ১০টি—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।
সংখ্যা (Number): এক বা একাধিক অঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশিত পরিমাণ; যেমন 7, 25, 405, 7382।

★ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা

◈ সংজ্ঞা ও মূলনীতি

কয়েকটি নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে সংখ্যা গঠন করতে বললে অঙ্কগুলো বড় থেকে ছোট সাজালে বৃহত্তম সংখ্যা এবং ছোট থেকে বড় সাজালে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা পাওয়া যায়। তবে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠনের সময় 0-কে প্রথমে বসানো যায় না।

📌 Rule Chart

✦ উদাহরণ–১ : 3, 4, 5 ও 7 দিয়ে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা

বৃহত্তম সংখ্যা: 7 > 5 > 4 > 3
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 7543

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা: 3 < 4 < 5 < 7
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 3457

এই পদ্ধতিটিই নির্দিষ্ট অঙ্ক দিয়ে সংখ্যা গঠনের মৌলিক নিয়ম।

✦ উদাহরণ–২ : 0, 4, 5 ও 7 দিয়ে সংখ্যা গঠন

বৃহত্তম সংখ্যার ক্ষেত্রে—
7, 5, 4, 0
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 7540

ক্ষুদ্রতম সংখ্যার ক্ষেত্রে 0 প্রথমে বসানো যাবে না। সবচেয়ে ছোট non-zero অঙ্ক 4 প্রথমে, তারপর 0—

4, 0, 5, 7
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 4057

⚠️ কেন 0457 নয়?

কারণ 0457 = 457, যা চার অঙ্কের সংখ্যা নয়।

📐 n অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা

n অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10ⁿ⁻¹
n অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = 10ⁿ − 1

✦ উদাহরণ–৩ : 6 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা

6 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= 10⁶⁻¹
= 10⁵
= 100000

6 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা
= 10⁶ − 1
= 999999

⚡ একটি অসাধারণ Shortcut

পরপর দুই digit-length-এর ক্ষেত্রে—

(n+1) অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা − n অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = 1

উদাহরণ:
5 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000
4 অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = 9999

অন্তর = 10000 − 9999
= 1

এ ধরনের প্রশ্ন ২৯তম BCS-এ এসেছে।

🎯 ৩১তম BCS : বইয়ের মতো সমাধান

প্রশ্ন: 0, 1, 2 ও 3 দিয়ে গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম চার অঙ্কের সংখ্যার বিয়োগফল কত?

বৃহত্তম চার অঙ্কের সংখ্যা = 3210

ক্ষুদ্রতম চার অঙ্কের সংখ্যা গঠনে 0 প্রথমে বসতে পারবে না। তাই—

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 1023

এখন,

3210 − 1023
= 2187

∴ উত্তর: 2187

★★ ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা

◈ সংজ্ঞা

যেসব পূর্ণসংখ্যা পরপর 1 করে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, তাদের ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা (Consecutive Integers) বলে।

যেমন—5, 6, 7, 8 অথবা −3, −2, −1, 0।

সাধারণ রূপ

দুটি ক্রমিক সংখ্যা = x, x + 1
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা = x − 1, x, x + 1
চারটি ক্রমিক সংখ্যা = x, x + 1, x + 2, x + 3

➕ তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল

তিনটি ক্রমিক সংখ্যা ধরি—

x − 1, x, x + 1

তাদের যোগফল,

(x − 1) + x + (x + 1)
= x − 1 + x + x + 1
= 3x

অর্থাৎ—

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল = মাঝের সংখ্যা × 3

🎯 ৩২তম ও ২৯তম BCS

প্রশ্ন: পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল 120 হলে তাদের যোগফল কত?

120-কে তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লিখি—

120 = 4 × 5 × 6

অতএব সংখ্যা তিনটি = 4, 5, 6

তাদের যোগফল—

4 + 5 + 6
= 15

∴ উত্তর: 15

⚡ Shortcut

∛120 ≈ 4.93 ≈ 5

তাই মাঝের সংখ্যা = 5
যোগফল = 3 × 5
= 15

✦ Practice Example

পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল 210 হলে যোগফল কত?

210 = 5 × 6 × 7

অতএব সংখ্যা = 5, 6, 7

যোগফল = 5 + 6 + 7
= 18

∴ উত্তর: 18

📐 দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর

দুটি ক্রমিক সংখ্যা ধরি—

x এবং x + 1

তাদের বর্গের অন্তর—

(x + 1)² − x²
= x² + 2x + 1 − x²
= 2x + 1

অতএব—

দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গের অন্তর সর্বদা বিজোড়।

আর যদি বর্গের অন্তর = D হয়—

2x + 1 = D

⇒ 2x = D − 1
⇒ x = (D − 1)/2

তাই—

ছোট সংখ্যা = (D − 1)/2
বড় সংখ্যা = (D + 1)/2

🎯 ২৬তম BCS : পূর্ণ সমাধান

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার বর্গের অন্তর 47। সংখ্যা দুটি কত?

ধরি, ছোট সংখ্যা = x
তাহলে বড় সংখ্যা = x + 1

প্রশ্নমতে,

(x + 1)² − x² = 47

⇒ x² + 2x + 1 − x² = 47
⇒ 2x + 1 = 47
⇒ 2x = 46
⇒ x = 23

অতএব, ছোট সংখ্যা = 23
এবং বড় সংখ্যা = 24

∴ উত্তর: 23 ও 24

⚡ Shortcut

বড় সংখ্যা = (47 + 1)/2
= 48/2
= 24

ছোট সংখ্যা = 23।

🎯 ২২তম BCS-ধরনের Shortcut

বর্গের অন্তর = 199 হলে—

বড় সংখ্যা = (199 + 1)/2
= 200/2
= 100

ছোট সংখ্যা = 99।

⚪ জোড় ও বিজোড় সংখ্যা

◈ জোড় সংখ্যা (Even Number)

যে পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাকে জোড় সংখ্যা বলে।

সাধারণ রূপ = 2n

যেমন—0, 2, 4, 6, 8, 10, −2, −4।

গুরুত্বপূর্ণ

0 একটি জোড় সংখ্যা, কারণ—

0 = 2 × 0

◈ বিজোড় সংখ্যা (Odd Number)

যে পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয় তাকে বিজোড় সংখ্যা বলে।

সাধারণ রূপ = 2n + 1

যেমন—1, 3, 5, 7, 9।

🔗 ক্রমিক জোড় ও বিজোড় সংখ্যা

দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা: 2n, 2n + 2
তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা: 2n − 2, 2n, 2n + 2

দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা: 2n + 1, 2n + 3
তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা: 2n − 1, 2n + 1, 2n + 3

মনে রাখুন

ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার ব্যবধান = 1
ক্রমিক জোড় সংখ্যার ব্যবধান = 2
ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ব্যবধান = 2

➕ জোড়-বিজোড়ের যোগের নিয়ম

✖️ গুণের নিয়ম

এ নিয়মগুলো পরীক্ষামুখী নোটেও আলাদাভাবে গুরুত্ব দেওয়া হয়েছে।

🧠 Golden Rule

যোগে একই প্রকৃতি → জোড়; ভিন্ন প্রকৃতি → বিজোড়।
গুণে একটি জোড় factor থাকলেই পুরো গুণফল জোড়।

🔥 Power Rule

জোড় সংখ্যা যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ ঘাতে তুললে ফল জোড়।

যেমন—
2⁵ = 32 → জোড়
8³ = 512 → জোড়

বিজোড় সংখ্যা যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ ঘাতে তুললে ফল বিজোড়।

যেমন—
3⁴ = 81 → বিজোড়
5³ = 125 → বিজোড়

★★★ মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা

◈ মূলদ সংখ্যা (Rational Number)

যে বাস্তব সংখ্যাকে—

p/q

আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণ

2 = 2/1
−11 = −11/1
1/2 = 0.5
3/4 = 0.75
5/3 = 1.666...

অতএব পূর্ণসংখ্যা, সাধারণ ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক ও পৌনঃপুনিক দশমিক—সবই মূলদ হতে পারে।

🔍 মূলদ সংখ্যা চেনার চারটি সহজ নিয়ম

১. সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ

5 = 5/1
−8 = −8/1
0 = 0/1

২. সাধারণ ভগ্নাংশ মূলদ

3/7, 5/9, −11/4

৩. সসীম দশমিক মূলদ

0.25 = 25/100 = 1/4
2.75 = 275/100 = 11/4

৪. অসীম কিন্তু পৌনঃপুনিক দশমিক মূলদ

0.333... = 1/3
1.666... = 5/3

📊 Decimal Classification Chart

দশমিক সংখ্যা
│
├── সসীম
│      └── মূলদ
│
├── অসীম কিন্তু পৌনঃপুনিক
│      └── মূলদ
│
└── অসীম ও অপৌনঃপুনিক
       └── অমূলদ

◈ অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)

যে বাস্তব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। এর দশমিক প্রকাশ অসীম এবং অপৌনঃপুনিক।

গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ

√2, √3, √5, √7, √11, π, e

π = 3.14159265...
e = 2.71828182...

🌱 বর্গমূল থেকে মূলদ–অমূলদ চেনা

Perfect Square হলে

√4 = 2 → মূলদ
√9 = 3 → মূলদ
√25 = 5 → মূলদ

Perfect Square না হলে

√2 → অমূলদ
√3 → অমূলদ
√5 → অমূলদ
√10 → অমূলদ

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n পূর্ণবর্গ না হলে √n অমূলদ।

⚠️ Trap

“বর্গমূল থাকলেই অমূলদ”—এ ধারণা ভুল।

কারণ—

√49 = 7 → মূলদ।

⚖️ মূলদ বনাম অমূলদ

➕ মূলদ ও অমূলদের যোগ-বিয়োগ

ধরি, r একটি মূলদ এবং x একটি অমূলদ সংখ্যা।

মূলদ + অমূলদ = অমূলদ
মূলদ − অমূলদ = অমূলদ

উদাহরণ—

3 + √2 = অমূলদ
5 − √3 = অমূলদ

✖️ মূলদ ও অমূলদের গুণ

শূন্য ছাড়া কোনো মূলদ সংখ্যা × অমূলদ সংখ্যা = অমূলদ

উদাহরণ—

2 × √3 = 2√3 → অমূলদ

কিন্তু—

0 × √3 = 0 → মূলদ

তাই শর্তটি গুরুত্বপূর্ণ:

Non-zero Rational × Irrational = Irrational

⚠️ দুই অমূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রে ফল স্থির নয়

যোগে মূলদ হতে পারে

√2 + (−√2)
= 0
→ মূলদ

যোগে অমূলদও হতে পারে

√2 + √3
→ অমূলদ

গুণে মূলদ হতে পারে

√2 × √2
= 2
→ মূলদ

গুণে অমূলদ হতে পারে

√2 × √3
= √6
→ অমূলদ

🧠 তাই

Irrational ± Irrational এবং Irrational × Irrational—ফল সবসময় অমূলদ নয়।

📐 মূলদীকরণ (Rationalization)

◈ সংজ্ঞা

ভগ্নাংশের হরে থাকা অমূলদ অংশ দূর করে হরকে মূলদ করার পদ্ধতিকে মূলদীকরণ বলে।

Conjugate বা অনুবন্ধী

√a + √b-এর অনুবন্ধী = √a − √b

কারণ—

(√a + √b)(√a − √b)
= a − b

✦ উদাহরণ

2/(√5 + √3)-কে মূলদীকরণ করি।

হর ও লবকে √5 − √3 দ্বারা গুণ করি—

2/(√5 + √3) × (√5 − √3)/(√5 − √3)

= 2(√5 − √3) / [(√5)² − (√3)²]

= 2(√5 − √3)/(5 − 3)

= 2(√5 − √3)/2

= √5 − √3

∴ উত্তর: √5 − √3

📍 দুই সংখ্যার মাঝখানে মূলদ সংখ্যা

দুটি মূলদ সংখ্যা a ও b হলে তাদের মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা—

(a + b)/2

উদাহরণ

2 ও 3-এর মাঝখানে—

(2 + 3)/2
= 5/2
= 2.5

আবার 2 ও 3-এর মধ্যে অসীমসংখ্যক মূলদ সংখ্যা আছে—2.1, 2.2, 2.25, 2.75 ইত্যাদি।

গুরুত্বপূর্ণ

যেকোনো দুটি ভিন্ন বাস্তব সংখ্যার মাঝে অসীমসংখ্যক মূলদ ও অসীমসংখ্যক অমূলদ সংখ্যা থাকে।

★★ জটিল সংখ্যা

◈ জটিল সংখ্যার সংজ্ঞা

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমন্বয়ে গঠিত a + ib আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা বলে, যেখানে a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং—

i = √−1

অতএব—

i² = −1

জটিল সংখ্যাকে সাধারণত z দ্বারা প্রকাশ করা হয়—

z = a + ib

যেমন—
z = −5 + 2i

এখানে বাস্তব অংশ = −5
কাল্পনিক অংশের সহগ = 2।

🌳 Complex Number Chart

z = a + ib
│
├── a = বাস্তব অংশ
├── b = কাল্পনিক অংশের সহগ
│
├── b = 0 হলে → বাস্তব সংখ্যা
├── a = 0, b ≠ 0 হলে → বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা
└── a ≠ 0, b ≠ 0 হলে → সাধারণ জটিল সংখ্যা

উদাহরণ

5 = 5 + 0i → বাস্তব সংখ্যা
3i = 0 + 3i → বিশুদ্ধ কাল্পনিক
4 + 7i → জটিল সংখ্যা

🔄 i-এর ঘাত : সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ

আমরা জানি—

i = √−1

অতএব,

i¹ = i

i² = −1

i³ = i² × i
= −1 × i
= −i

i⁴ = i² × i²
= (−1)(−1)
= 1

এরপর আবার একই cycle শুরু হয়—

i⁵ = i
i⁶ = −1
i⁷ = −i
i⁸ = 1

🧠 i-এর ঘাতের Cycle Chart

i¹ =  i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ =  1
      ↓
আবার একই চারটি মান

Shortcut

ঘাতকে 4 দিয়ে ভাগ করো।

🎯 ৪৪তম BCS : i−49i^{-49}

প্রশ্ন: i−49i^{-49}-এর মান কত?

আমরা জানি—

i⁴ = 1

এখন,

i⁻⁴⁹
= 1/i⁴⁹

আবার,

49 = 4 × 12 + 1

অতএব,

i⁴⁹
= (i⁴)¹² × i
= 1¹² × i
= i

সুতরাং,

i⁻⁴⁹
= 1/i

লব ও হরকে i দিয়ে গুণ করলে—

= i/i²
= i/(−1)
= −i

∴ উত্তর: −i

🎯 ৪১তম BCS : Negative Square Root

প্রশ্ন: √−8 × √−2 = কত?

√−8
= √8 × √−1
= 2√2 i

এবং,

√−2
= √2 i

অতএব,

√−8 × √−2
= (2√2 i)(√2 i)

= 2 × 2 × i²

= 4(−1)

= −4

∴ উত্তর: −4

➕ জটিল সংখ্যার যোগ

ধরি,

z₁ = a + ib
z₂ = c + id

তাহলে—

z₁ + z₂
= (a + ib) + (c + id)

= (a + c) + i(b + d)

উদাহরণ

(3 + 2i) + (5 − 4i)

= 3 + 5 + 2i − 4i

= 8 − 2i

✖️ জটিল সংখ্যার গুণ

(a + ib)(c + id)

= ac + iad + ibc + i²bd

যেহেতু i² = −1,

= ac − bd + i(ad + bc)

উদাহরণ

(2 + 3i)(1 + 2i)

= 2 + 4i + 3i + 6i²

= 2 + 7i − 6

= −4 + 7i

🔗 অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (Conjugate)

a + ib-এর conjugate—

a − ib

যেমন—

3 + 4i-এর conjugate = 3 − 4i

তাদের গুণফল—

(3 + 4i)(3 − 4i)

= 3² − (4i)²

= 9 − 16i²

= 9 + 16

= 25

অর্থাৎ—

(a + ib)(a − ib) = a² + b²

★★★ মৌলিক সংখ্যা

◈ সংজ্ঞা

1-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার ঠিক দুটি ধনাত্মক গুণনীয়ক—1 এবং সংখ্যাটি নিজে—তাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে।

যেমন—2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ইত্যাদি।

⚠️ মৌলিক সংখ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ Facts

1. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2
2. একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা = 2
3. 2 ছাড়া সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।
4. 1 মৌলিক নয়।
5. 1 যৌগিকও নয়।
6. বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা নেই—মৌলিক সংখ্যা অসীম।
7. 1 থেকে 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 25টি।

◈ যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

1-এর চেয়ে বড় যে স্বাভাবিক সংখ্যার দুইয়ের বেশি ধনাত্মক গুণনীয়ক রয়েছে, তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।

যেমন—

4-এর গুণনীয়ক = 1, 2, 4
তাই 4 যৌগিক।

6-এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 6
তাই 6 যৌগিক।

🌳 Prime Classification

স্বাভাবিক সংখ্যা
│
├── 1
│    └── মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়
│
└── 1-এর চেয়ে বড়
     │
     ├── ঠিক 2টি গুণনীয়ক
     │      └── মৌলিক
     │
     └── 2টির বেশি গুণনীয়ক
            └── যৌগিক

🔢 1–100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

মোট = 25টি

🧠 Prime Number মনে রাখার Pattern

1–10   → 4টি
11–20  → 4টি
21–30  → 2টি
31–40  → 2টি
41–50  → 3টি
51–60  → 2টি
61–70  → 2টি
71–80  → 3টি
81–90  → 2টি
91–100 → 1টি
----------------
মোট      25টি

🔍 কোনো সংখ্যা Prime কি না যাচাই করার নিয়ম

কোনো সংখ্যা n মৌলিক কি না পরীক্ষা করতে √n পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ পরীক্ষা করলেই যথেষ্ট।

উদাহরণ : 59 কি মৌলিক?

√59 ≈ 7.68

তাই শুধু 2, 3, 5 ও 7 দিয়ে divisibility পরীক্ষা করব।

59 ÷ 2 → নিঃশেষ নয়
59 ÷ 3 → নিঃশেষ নয়
59 ÷ 5 → নিঃশেষ নয়
59 ÷ 7 → নিঃশেষ নয়

অতএব—

59 একটি মৌলিক সংখ্যা।

এ ধরনের prime identification ৩০তম BCS-এ এসেছে।

🎯 ৩০তম BCS

প্রদত্ত সংখ্যা—91, 87, 63, 59।

91 = 7 × 13 → যৌগিক
87 = 3 × 29 → যৌগিক
63 = 3 × 21 → যৌগিক
59 → 2, 3, 5 বা 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়

∴ মৌলিক সংখ্যা = 59

🎯 ৩৮তম BCS : কোনটি মৌলিক নয়?

প্রদত্ত সংখ্যার মধ্যে—

253 = 11 × 23

অতএব 253 মৌলিক নয়।

✨ 6n ± 1 Rule

3-এর চেয়ে বড় প্রত্যেক মৌলিক সংখ্যা সাধারণত—

6n − 1 অথবা 6n + 1

আকারে থাকে।

যেমন—

5 = 6×1 − 1
7 = 6×1 + 1
11 = 6×2 − 1
13 = 6×2 + 1
17 = 6×3 − 1
19 = 6×3 + 1

⚠️ বিপরীতটি সত্য নয়

6n ± 1 আকারের হলেই সংখ্যা prime হবে—এমন নয়।

যেমন—

25 = 6×4 + 1

কিন্তু—

25 = 5×5

অতএব 25 যৌগিক।

👬 সহমৌলিক সংখ্যা (Co-prime Number)

◈ সংজ্ঞা

দুটি সংখ্যার মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদের পরস্পর সহমৌলিক বলা হয়; অর্থাৎ তাদের গ.সা.গু. = 1।

উদাহরণ : 8 ও 15

8-এর গুণনীয়ক = 1, 2, 4, 8
15-এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 15

দুই সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক = শুধু 1

অতএব,

গ.সা.গু.(8,15) = 1

∴ 8 ও 15 পরস্পর সহমৌলিক।

⚠️ Prime এবং Co-prime এক নয়

উদাহরণ

8 → যৌগিক
15 → যৌগিক

তবুও—

8 ও 15 → সহমৌলিক

🔥 সহমৌলিক সংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

১. যেকোনো দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা সহমৌলিক

যেমন—

8 ও 9 → GCD = 1
15 ও 16 → GCD = 1

অর্থাৎ—

GCD(n, n+1) = 1

২. দুটি পৃথক মৌলিক সংখ্যা পরস্পর সহমৌলিক

যেমন—

7 ও 11 → GCD = 1

৩. 1 যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সঙ্গে সহমৌলিক

যেমন—

1 ও 20 → GCD = 1

৪. দুটি সংখ্যা সহমৌলিক হলে—

LCM = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল

যেমন 8 ও 15 সহমৌলিক।

LCM(8,15)
= 8 × 15
= 120

🔗 গ.সা.গু.–ল.সা.গু. Fundamental Formula

দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a ও b-এর জন্য—

গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল

অর্থাৎ—

GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b

উদাহরণ

12 ও 18-এর—

GCD = 6
LCM = 36

তাই,

6 × 36 = 216

আবার,

12 × 18 = 216

দুই পক্ষ সমান।

👯 Twin Prime বা যমজ মৌলিক সংখ্যা

যে দুটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য 2, তাদের Twin Prime বলে।

উদাহরণ—

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)
(29,31)
(41,43)

⚠️

সব consecutive prime twin prime নয়।

যেমন 7 ও 11-এর পার্থক্য 4।

🧱 Prime Factorization

কোনো যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করাকে Prime Factorization বলে।

উদাহরণ

60 = 2 × 30
= 2 × 2 × 15
= 2 × 2 × 3 × 5

অতএব—

60 = 2² × 3 × 5

আর—

84 = 2 × 42
= 2 × 2 × 21
= 2² × 3 × 7

🧠 সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ Formula & Shortcut Table

🚨 BCS CONFUSION ZONE

🎯 গুরুত্বপূর্ণ BCS Worked Problems

◈ Problem–1 : বৃহত্তম–ক্ষুদ্রতম

0, 1, 2, 3 দিয়ে—

বৃহত্তম = 3210
ক্ষুদ্রতম = 1023

বিয়োগফল—

3210 − 1023
= 2187

◈ Problem–2 : তিনটি ক্রমিক সংখ্যা

গুণফল = 120

120 = 4 × 5 × 6

তাই সংখ্যা = 4, 5, 6

যোগফল—

4 + 5 + 6
= 15

◈ Problem–3 : বর্গের অন্তর

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর = 47।

ধরি, সংখ্যা = x ও x+1।

(x+1)² − x² = 47

⇒ 2x + 1 = 47
⇒ 2x = 46
⇒ x = 23

সংখ্যা = 23 ও 24

◈ Problem–4 : Rational or Irrational

√72 সরল করি—

√72
= √(36×2)
= 6√2

যেহেতু √2 অমূলদ, তাই—

6√2 অমূলদ।

◈ Problem–5 : দুই অমূলদের গুণ

√8 × √2

= √16

= 4

অতএব ফল মূলদ।

শিক্ষা

দুই অমূলদ সংখ্যার গুণফল সবসময় অমূলদ নয়।

◈ Problem–6 : i2026i^{2026}

2026-কে 4 দিয়ে ভাগ করি—

2026 = 4×506 + 2

অতএব,

i²⁰²⁶
= (i⁴)⁵⁰⁶ × i²

= 1 × (−1)

= −1

◈ Problem–7 : Co-prime

16 ও 25-এর—

16-এর factor = 1, 2, 4, 8, 16
25-এর factor = 1, 5, 25

Common factor = শুধু 1

অতএব—

16 ও 25 সহমৌলিক।

🧠 দ্রুত Prime Check Table

৩৯তম/১০ম BCS-এ 47 এবং ৩০তম BCS-এ 59-এর মতো prime identification এসেছে।

🌟 MASTER CONCEPT MAP

বাস্তব সংখ্যা
│
├── বৃহত্তম–ক্ষুদ্রতম
│     ├── Largest → Descending
│     └── Smallest → Ascending + Zero Rule
│
├── ক্রমিক সংখ্যা
│     ├── x, x+1
│     ├── x−1, x, x+1
│     └── Square Difference = 2x+1
│
├── জোড়–বিজোড়
│     ├── Even = 2n
│     └── Odd = 2n+1
│
├── মূলদ
│     ├── p/q
│     ├── terminating decimal
│     └── recurring decimal
│
├── অমূলদ
│     ├── √non-perfect-square
│     ├── π
│     └── e
│
├── জটিল
│     └── a+ib
│          └── i²=-1
│
└── মৌলিক/সহমৌলিক
      ├── Prime → 2 factors
      └── Co-prime → GCD=1