এই অধ্যায়ের প্রথম অংশে গুণনীয়ক, মৌলিক উৎপাদক, ভাজকের সংখ্যা, নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা, একইসঙ্গে দুটি শর্ত পূরণকারী সংখ্যা এবং ভাগশেষভিত্তিক সমস্যা; দ্বিতীয় অংশে বর্গসংখ্যা, বর্গমূল, পূর্ণবর্গ চেনা, দ্রুত বর্গ নির্ণয়, দশমিক সংখ্যার বর্গ ও বর্গমূল—এসবই মূল আলোচ্য। সংখ্যার বিভাজ্যতা ও সংখ্যা গণনা থেকে ৪৬তম, ৪১তম, ২৯তম, ২৬তম, ২২তম ও ১৬তম BCS; আর বর্গ ও বর্গমূল থেকে ৩৬তম, ৩৪তম এবং ২৪তম (বাতিল) BCS-এ প্রশ্ন এসেছে।

🌳 অধ্যায়ের Concept Map

বাস্তব সংখ্যা
│
├── সংখ্যার বিভাজ্যতা ও সংখ্যা গণনা
│   ├── গুণনীয়ক/উৎপাদক
│   ├── মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ
│   ├── মোট ভাজকের সংখ্যা
│   ├── বিজোড়/জোড় সংখ্যক ভাজক
│   ├── নির্দিষ্ট সীমায় বিভাজ্য সংখ্যা
│   ├── একাধিক শর্তের সংখ্যা গণনা
│   └── ভাগশেষভিত্তিক ভাজক নির্ণয়
│
└── বর্গ ও বর্গমূল
    ├── বর্গসংখ্যা
    ├── বর্গমূল
    ├── পূর্ণবর্গ চেনা
    ├── দ্রুত বর্গ
    ├── দশমিকের বর্গ
    └── দশমিকের বর্গমূল

★★★ সংখ্যার বিভাজ্যতা ও সংখ্যা গণনা

১. গুণনীয়ক বা উৎপাদক (Factor/Divisor)

সংজ্ঞা: কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা NN-কে যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়, তাকে NN-এর গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।

উদাহরণ: 24-এর গুণনীয়ক—
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

কারণ—
24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6

অতএব, 24-এর মোট গুণনীয়ক = 8টি। প্রদত্ত নোটে 24-এর এই factor pair এবং prime factorization দুটিই দেখানো হয়েছে।

✦ প্রকৃত গুণনীয়ক (Proper Factor)

কোনো সংখ্যার নিজেকে বাদ দিয়ে বাকি ধনাত্মক গুণনীয়কগুলোকে প্রকৃত গুণনীয়ক বলা হয়।

24-এর প্রকৃত গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12

২. মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Prime Factorization)

সংজ্ঞা: কোনো যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল আকারে প্রকাশ করাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলে।

উদাহরণ—

24 = 2 × 2 × 2 × 3
= 2³ × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 3²।

🧠 কেন গুরুত্বপূর্ণ?

ভাজকের সংখ্যা, গ.সা.গু., ল.সা.গু., পূর্ণবর্গ, পূর্ণঘন—এসবের বহু সূত্র prime factorization-এর ওপর নির্ভর করে।

৩. মোট ভাজকের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র

ধরি,

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ

যেখানে p, q, r ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা।

তাহলে—

N-এর মোট ধনাত্মক ভাজকের সংখ্যা = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

সূত্র কেন কাজ করে?

N-এর যেকোনো ভাজকে p-এর ঘাত নেওয়া যাবে—0, 1, 2, ..., a → মোট (a+1)টি উপায়।
একইভাবে q-এর জন্য (b+1)টি এবং r-এর জন্য (c+1)টি উপায়।
তাই মোট সম্ভাবনা = (a+1)(b+1)(c+1)।

🧩 উদাহরণ–১ : 72-এর মোট ভাজক কত?

72-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি—

72 = 8 × 9
= 2³ × 3²

অতএব মোট ভাজক—

= (3 + 1)(2 + 1)
= 4 × 3
= 12

∴ 72-এর মোট ভাজক = 12টি।

এটি ২৬তম BCS-এর সরাসরি প্রশ্ন।

⚡ Shortcut

72 = 2³ × 3² দেখামাত্র—

ভাজক = 4 × 3 = 12

৪. কোন সংখ্যার ভাজক বেশি?

🎯 ২৯তম BCS

Which of the following integers has the most divisors?
88, 91, 95, 99

সমাধান

88 = 2³ × 11
ভাজক = (3+1)(1+1) = 4×2 = 8

91 = 7 × 13
ভাজক = 2×2 = 4

95 = 5 × 19
ভাজক = 2×2 = 4

99 = 3² × 11
ভাজক = (2+1)(1+1) = 3×2 = 6

অতএব—

88-এর ভাজক সবচেয়ে বেশি = 8টি

∴ উত্তর: 88

৫. বিজোড় সংখ্যক ভাজক কখন হয়?

সাধারণত কোনো সংখ্যার ভাজক জোড়ায় জোড়ায় আসে।

উদাহরণ: 12-এর factor pair—
1×12, 2×6, 3×4 → মোট 6টি।

কিন্তু পূর্ণবর্গ সংখ্যার ক্ষেত্রে √N নিজের সঙ্গেই pair তৈরি করে, তাই মোট ভাজকের সংখ্যা বিজোড় হয়।

Golden Rule

কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার ভাজকের সংখ্যা বিজোড় ⇔ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

উদাহরণ—

36-এর ভাজক = 1,2,3,4,6,9,12,18,36 → 9টি।

কারণ—

√36 = 6, এবং 6×6 = 36।

🎯 ১৬তম BCS

প্রশ্নে 2048, 512, 1024, 48-এর মধ্যে কোনটির ভাজকের সংখ্যা বিজোড় জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল।

পরীক্ষা করি—

2048 = 2¹¹ → ভাজক = 12টি
512 = 2⁹ → ভাজক = 10টি
1024 = 2¹⁰ → ভাজক = 11টি
48 = 2⁴ × 3 → ভাজক = 5×2 = 10টি

অতএব—

1024-এর ভাজক সংখ্যা বিজোড়।

আরেকভাবে—

1024 = 32² → পূর্ণবর্গ
∴ ভাজকের সংখ্যা বিজোড়।

⚡ Shortcut

Options-এর মধ্যে কোনটি perfect square দেখো।
Perfect square-ই হবে answer।

৬. নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা

মৌলিক সূত্র

1 থেকে N পর্যন্ত k দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা—

⌊N/k⌋

এখানে ⌊ ⌋ অর্থ পূর্ণাংশ বা floor value।

উদাহরণ

1 থেকে 100 পর্যন্ত 7 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা—

100 ÷ 7 = 14 ভাগশেষ 2

অতএব মোট = 14টি

৭. A থেকে B পর্যন্ত k দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা

Formula

A থেকে B পর্যন্ত inclusive range-এ k দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা—

⌊B/k⌋ − ⌊(A−1)/k⌋

🎯 ৪১তম BCS

100 থেকে 200-এর মধ্যে 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

200 পর্যন্ত 3-এর গুণিতক—

200 ÷ 3 = 66 ভাগশেষ 2
অতএব = 66টি

99 পর্যন্ত 3-এর গুণিতক—

99 ÷ 3 = 33

তাই 100 থেকে 200 পর্যন্ত—

66 − 33
= 33

∴ উত্তর: 33টি

বইয়ের অন্য পদ্ধতি

100-এর পর প্রথম divisible number = 102
200-এর আগে শেষ divisible number = 198

Sequence:

102, 105, 108, ..., 198

এটি একটি সমান্তর ধারা।

n = [(198 − 102)/3] + 1
= 96/3 + 1
= 32 + 1
= 33

🧩 উদাহরণ : 200 থেকে 500-এর মধ্যে 7 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা

প্রথম divisible number = 203 = 7×29
শেষ divisible number = 497 = 7×71

সংখ্যাগুলো—

203, 210, 217, ..., 497

মোট পদ—

= (497 − 203)/7 + 1
= 294/7 + 1
= 42 + 1
= 43

∴ উত্তর: 43টি।

এই প্রশ্নটি সম্ভাব্য প্রশ্ন হিসেবে নোটে রয়েছে।

⚡ Floor Shortcut

⌊500/7⌋ − ⌊199/7⌋
= 71 − 28
= 43

৮. একই সঙ্গে একাধিক শর্ত পূরণকারী সংখ্যা

এখানে মূল অস্ত্র—

LCM বা ল.সা.গু.

যে সংখ্যা a ও b উভয় দ্বারা বিভাজ্য, সেটি অবশ্যই—

LCM(a,b) দ্বারা বিভাজ্য।

🎯 ৪৬তম BCS

1-এর বড় এবং 1000-এর মধ্যে কতগুলো সংখ্যা আছে যারা 16 দ্বারা বিভাজ্য নয় কিন্তু 30 দ্বারা বিভাজ্য?

প্রথমে 30 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা—

1000 ÷ 30 = 33 ভাগশেষ 10

অতএব = 33টি

এখন এদের মধ্যে যেগুলো 16 দ্বারাও বিভাজ্য, সেগুলো বাদ দিতে হবে।

LCM(16,30) নির্ণয় করি—

16 = 2⁴
30 = 2×3×5

LCM = 2⁴×3×5
= 16×15
= 240

1000 পর্যন্ত 240 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা—

1000 ÷ 240 = 4 ভাগশেষ 40

অতএব = 4টি

সুতরাং প্রয়োজনীয় সংখ্যা—

33 − 4
= 29টি

⚠️ গুরুত্বপূর্ণ

প্রদত্ত slide-এর option/annotation-এ 33 চিহ্নিত দেখা গেলেও, প্রশ্নের ভাষা “30 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 16 দ্বারা বিভাজ্য নয়” হলে mathematically correct count 29। কারণ 240, 480, 720, 960—চারটি সংখ্যা 30 ও 16 উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তাই বাদ যাবে।

৯. Inclusion–Exclusion Principle

1 থেকে N পর্যন্ত a অথবা b দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা—

a দ্বারা বিভাজ্য + b দ্বারা বিভাজ্য − উভয় দ্বারা বিভাজ্য

অর্থাৎ—

Count = ⌊N/a⌋ + ⌊N/b⌋ − ⌊N/LCM(a,b)⌋

উদাহরণ

1 থেকে 100 পর্যন্ত 2 অথবা 3 দ্বারা বিভাজ্য কয়টি?

2 দ্বারা = 50
3 দ্বারা = 33
6 দ্বারা = 16

অতএব—

50 + 33 − 16
= 67

১০. “ভাগ করলে নির্দিষ্ট ভাগশেষ থাকে” ধরনের সমস্যা

যদি N-কে d দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবার r ভাগশেষ থাকে, তাহলে—

N = dq + r

অতএব—

N − r = dq

তাই—

d অবশ্যই (N − r)-এর একটি ভাজক।

🎯 ২২তম BCS

কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346-কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে?

এখানে—

N = 346
r = 31

তাই—

346 − 31
= 315

অতএব প্রয়োজনীয় divisor-গুলো হবে 315-এর ভাজক, তবে divisor অবশ্যই ভাগশেষ 31-এর চেয়ে বড় হবে।

315-এর উৎপাদক বিশ্লেষণ—

315 = 3² × 5 × 7

31-এর চেয়ে বড় প্রাসঙ্গিক ভাজক—

35, 45, 63, 105, 315

পরীক্ষা—

346 ÷ 35 → ভাগশেষ 31
346 ÷ 45 → ভাগশেষ 31
346 ÷ 63 → ভাগশেষ 31
346 ÷ 105 → ভাগশেষ 31
346 ÷ 315 → ভাগশেষ 31

∴ উত্তর: 35, 45, 63, 105, 315

🧩 একই Pattern : 216-কে ভাগ করলে 32 ভাগশেষ

216 − 32
= 184

184-এর উৎপাদক—

184 = 2³ × 23

ভাজক: 1, 2, 4, 8, 23, 46, 92, 184

যেহেতু divisor > remainder = 32,

প্রযোজ্য divisor—

46, 92, 184

নোটের সম্ভাব্য প্রশ্নেও এই উত্তরটি রয়েছে।

🚨 Divisibility Rules — BCS High-Yield

🧠 11 দ্বারা বিভাজ্যতার উদাহরণ

সংখ্যা = 2728

বিকল্প অঙ্কের যোগ—

(2 + 2) − (7 + 8)
= 4 − 15
= −11

যেহেতু −11 হলো 11-এর গুণিতক—

2728, 11 দ্বারা বিভাজ্য।

★★ সংখ্যার বর্গ ও বর্গমূল নির্ণয়

১১. বর্গসংখ্যা (Square Number)

সংজ্ঞা: কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়েই গুণ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গ বলে।

যদি সংখ্যা = a হয়, তাহলে—

a-এর বর্গ = a² = a × a

উদাহরণ—

2² = 2×2 = 4
5² = 5×5 = 25
6² = 6×6 = 36

অতএব 4, 25, 36 হলো যথাক্রমে 2, 5, 6-এর বর্গসংখ্যা।

১২. বর্গমূল (Square Root)

সংজ্ঞা: যে সংখ্যাকে নিজে দিয়ে গুণ করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাকে ঐ সংখ্যার বর্গমূল বলে।

যেমন—

3² = 9

তাই—

√9 = 3।

গুরুত্বপূর্ণ

Principal square root সাধারণত non-negative মান বোঝায়।

তাই—

√25 = 5

কিন্তু সমীকরণ—

x² = 25

হলে—

x = ±5

⚠️ Confusion

√25 = 5, কিন্তু x² = 25 ⇒ x = ±5

১৩. 1 থেকে 30 পর্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বর্গ

🎯 BCS-এর জন্য অন্তত 1²–30² মুখস্থ থাকা উচিত।

১৪. Perfect Square চেনার নিয়ম

Rule–1: Prime factorization

যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার prime factorization-এ প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হয়, তবে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

উদাহরণ—

144 = 2⁴ × 3²

উভয় exponent জোড়।

অতএব 144 পূর্ণবর্গ।

১৫. পূর্ণবর্গ সংখ্যার শেষ অঙ্ক

কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার unit digit হতে পারে—

0, 1, 4, 5, 6, 9

কখনোই হতে পারে না—

2, 3, 7, 8

🧠 দ্রুত Elimination

শেষ অঙ্ক 2, 3, 7 বা 8 হলে সংখ্যাটি কখনোই perfect square নয়।

কিন্তু

শেষ অঙ্ক 1 বা 4 হলেই যে perfect square হবে—এমন নয়।

যেমন 21 perfect square নয়।

১৬. বর্গের শেষ অঙ্ক থেকে মূলের শেষ অঙ্ক

১৭. দ্রুত বর্গ নির্ণয় : (a+b)2(a+b)^2

সূত্র—

(a + b)² = a² + 2ab + b²

উদাহরণ: 23²

23²
= (20 + 3)²
= 20² + 2×20×3 + 3²
= 400 + 120 + 9
= 529

১৮. দ্রুত বর্গ : (a−b)2(a-b)^2

সূত্র—

(a − b)² = a² − 2ab + b²

উদাহরণ: 98²

98²
= (100 − 2)²
= 10000 − 400 + 4
= 9604

১৯. 5-এ শেষ হওয়া সংখ্যার বর্গ — Super Shortcut

যদি সংখ্যা = a5, তাহলে—

a × (a+1) লিখে শেষে 25 বসাও।

উদাহরণ : 35²

3 × 4 = 12

শেষে 25 বসাই—

35² = 1225

65²

6 × 7 = 42

∴ 65² = 4225

115²

11 × 12 = 132

∴ 115² = 13225

২০. Base-100 Shortcut

103²

103 = 100 + 3

103²
= 10000 + 600 + 9
= 10609

97²

97 = 100 − 3

97²
= 10000 − 600 + 9
= 9409

২১. পরপর দুটি বর্গের পার্থক্য

(n + 1)² − n²
= n² + 2n + 1 − n²
= 2n + 1

অর্থ

পরপর দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার পার্থক্য সর্বদা বিজোড়।

উদাহরণ—

11² − 10²
= 121 − 100
= 21

এবং—

2×10 + 1 = 21

২২. বর্গমূল নির্ণয় — Prime Factorization Method

উদাহরণ : √144

144 = 2×2×2×2×3×3
= 2⁴×3²

জোড়া করি—

√144
= √(2²×2²×3²)
= 2×2×3
= 12

২৩. √169 — ৩৪তম BCS

13 × 13 = 169

তাই—

√169 = 13

∴ উত্তর: 13।

২৪. দশমিক সংখ্যার বর্গ

Golden Rule

দশমিক বাদ দিয়ে পূর্ণসংখ্যার মতো বর্গ করো; তারপর মূল সংখ্যার দশমিকের পর যত ঘর ছিল, বর্গে তার দ্বিগুণ ঘর থাকবে।

উদাহরণ : (0.005)²

5² = 25

0.005-এ দশমিকের পর 3 ঘর।
তাই বর্গে থাকবে 6 ঘর।

অতএব—

(0.005)² = 0.000025

নোটের সম্ভাব্য প্রশ্নেও এই ফলটি রয়েছে।

২৫. আরও উদাহরণ

(0.2)²

2² = 4

0.2-তে 1 decimal place
বর্গে 2 decimal places

∴ (0.2)² = 0.04

(0.03)²

3² = 9

0.03-তে 2 decimal places
বর্গে 4 decimal places

∴ (0.03)² = 0.0009

২৬. দশমিক সংখ্যার বর্গমূল

Golden Rule

বর্গমূল নেওয়ার সময় দশমিকের পরের অঙ্কগুলো ডান দিক থেকে 2টি করে pair করা হয়।

উদাহরণ—

√0.09

0.09 = 9/100

তাই—

√0.09
= √9 / √100
= 3/10
= 0.3

২৭. ২৪তম BCS (বাতিল) : √0.1

√0.1 ≈ 0.316227...

তাই option যদি 0.1, 0.01, 0.25 ইত্যাদি থাকে, কোনোটিই সঠিক নয়।

প্রদত্ত প্রশ্নে উত্তর “কোনোটিই নয়”।

⚠️ বড় Trap

√0.1 ≠ 0.01
√0.1 ≠ 0.1

কারণ—

0.1² = 0.01

২৮. ৩৬তম BCS : √15.6025

প্রশ্নে √15.6025-এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।

Options থেকে সহজে পরীক্ষা করা যায়—

3.95²

= (4 − 0.05)²
= 16 − 0.4 + 0.0025
= 15.6025

অতএব—

√15.6025 = 3.95

∴ উত্তর: 3.95

⚡ Option Elimination

3.9² = 15.21 এবং 4² = 16।
তাই root অবশ্যই 3.9 ও 4-এর মধ্যে। Options-এ 3.95 সবচেয়ে উপযুক্ত; square check করলে নিশ্চিত।

২৯. Perfect Square-এর ভাজক নিয়ে গভীর সম্পর্ক

যদি—

N = p²ᵃ × q²ᵇ

তাহলে ভাজকের সংখ্যা—

(2a+1)(2b+1)

প্রতিটি factor বিজোড়, তাই total divisor count-ও বিজোড়।

অতএব—

Perfect Square ⇔ Odd Number of Positive Divisors

এটি divisibility এবং square—দুই টপিককে সরাসরি যুক্ত করে।

৩০. Square-এর Digital Behaviour

একটি পূর্ণবর্গকে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয়—

0 অথবা 1

কারণ—

জোড় সংখ্যা = 2n
(2n)² = 4n² → remainder 0

বিজোড় = 2n+1
(2n+1)² = 4n²+4n+1 → remainder 1

তাই

যে সংখ্যা 4 দিয়ে ভাগ করলে remainder 2 বা 3 দেয়, সেটি perfect square নয়।

৩১. Square modulo 3

যেকোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গকে 3 দিয়ে ভাগ করলে remainder—

0 অথবা 1

কখনোই 2 নয়।

এটিও MCQ option elimination-এ কার্যকর।

📊 Divisibility Formula Bank

🚨 BCS CONFUSION ZONE

🎯 BCS Problem Type Classification

Type–01: মোট ভাজকের সংখ্যা

চেনার ভাষা: “মোট ভাজক কয়টি?”
পদ্ধতি: Prime factorization → exponent+1 → multiply।

Type–02: কোনটির ভাজক বেশি?

প্রতিটি option factorize করে divisor count তুলনা।

Type–03: সীমার মধ্যে divisible number

Formula: ⌊B/k⌋ − ⌊(A−1)/k⌋

Type–04: একটি দ্বারা divisible কিন্তু অন্যটি নয়

প্রথম count − LCM দ্বারা divisible count।

Type–05: একই remainder

N − remainder বের করে factorize।

Type–06: Odd divisor count

Perfect square শনাক্ত করো।

Type–07: Square/Square root

Known square, identity বা prime factorization।

Type–08: Decimal square/root

Decimal places carefully count।

⚡ Mental Math & Shortcut Zone

25² = 625 | 35² = 1225 | 45² = 2025 | 55² = 3025 | 65² = 4225 | 75² = 5625 | 85² = 7225 | 95² = 9025

11²=121 | 12²=144 | 13²=169 | 14²=196 | 15²=225 | 16²=256 | 17²=289 | 18²=324 | 19²=361 | 20²=400

Near-Base Trick

99² = (100−1)² = 9801
101² = (100+1)² = 10201
49² = (50−1)² = 2401
51² = (50+1)² = 2601

🧩 Practice Worked Examples

উদাহরণ–১

360-এর মোট divisor কত?

360 = 36×10
= 2³×3²×5

মোট divisor—

= (3+1)(2+1)(1+1)
= 4×3×2
= 24

∴ উত্তর: 24টি

উদাহরণ–২

1 থেকে 500 পর্যন্ত 12 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

500 ÷ 12 = 41 ভাগশেষ 8

∴ মোট = 41টি

উদাহরণ–৩

100 থেকে 500-এর মধ্যে 6 দ্বারা বিভাজ্য কয়টি?

500 পর্যন্ত = ⌊500/6⌋ = 83
99 পর্যন্ত = ⌊99/6⌋ = 16

মোট—

83 − 16
= 67

উদাহরণ–৪

1 থেকে 1000 পর্যন্ত 15 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 10 দ্বারা নয় কয়টি?

15 দ্বারা divisible—

⌊1000/15⌋ = 66

15 ও 10 উভয় দ্বারা divisible → LCM(15,10)=30

⌊1000/30⌋ = 33

অতএব—

66 − 33
= 33

উদাহরণ–৫

500-কে কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে 20 remainder থাকে। সম্ভাব্য divisor কীভাবে বের করব?

500 − 20 = 480

তাই divisor হবে 480-এর factor এবং divisor > 20।

🧠 মনে রাখুন

❖ N = pᵃqᵇrᶜ ⇒ divisor count = (a+1)(b+1)(c+1)
❖ পূর্ণবর্গ সংখ্যারই শুধু odd number of divisors থাকে।
❖ A থেকে B পর্যন্ত k দ্বারা divisible count = ⌊B/k⌋ − ⌊(A−1)/k⌋।
❖ দুটি সংখ্যা উভয় দ্বারা divisible ⇒ LCM ব্যবহার।
❖ ভাগশেষ r হলে N−r factorize করো।
❖ Perfect square-এর unit digit 2,3,7,8 হয় না।
❖ 5-এ শেষ হওয়া সংখ্যার square → আগের অংশ×পরের সংখ্যা, শেষে 25।
❖ Decimal square-এ decimal places দ্বিগুণ হয়।
❖ √a principal root ধনাত্মক/শূন্য; কিন্তু x²=a হলে সাধারণত ±√a।

📐 Compact Formula Sheet

N = pᵃqᵇrᶜ ⇒ d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)
1 থেকে N পর্যন্ত k-এর multiple = ⌊N/k⌋
A থেকে B পর্যন্ত k-এর multiple = ⌊B/k⌋ − ⌊(A−1)/k⌋
Both a,b divisible ⇒ LCM(a,b)
a অথবা b ⇒ n(a)+n(b)−n(LCM)
N divided by d leaves r ⇒ d | (N−r)
a² = a×a
√(a²) = |a|
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a−b)² = a²−2ab+b²
a²−b² = (a+b)(a−b)