ভগ্নাংশ অধ্যায়ে মূলত তিনটি অংশ গুরুত্বপূর্ণ—ভগ্নাংশের রূপান্তর, লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ এবং ভগ্নাংশের তুলনা। প্রদত্ত প্রশ্নবিশ্লেষণ অনুযায়ী ভগ্নাংশের রূপান্তর থেকে ৩৪তম, ৩২তম ও ২৯তম BCS; লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ থেকে ২৪তম BCS; আর ভগ্নাংশের তুলনা থেকে ৪৬তম, ৪৫তম, ৪১তম, ৩৯তম, ৩২তম, ৩১তম, ৩০তমসহ একাধিক BCS-এ প্রশ্ন এসেছে।

---

১. ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number)

যে মূলদ সংখ্যা পূর্ণ বা অখণ্ড নয় তাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। ভগ্নাংশ সাধারণত a/b আকারে লেখা হয়, যেখানে—

a = লব (Numerator)
b = হর (Denominator)
এবং b ≠ 0

উদাহরণ: 3/5, 7/8, 11/4 ইত্যাদি। নোটেও ভগ্নাংশকে লব ও হরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে।

উদাহরণ

3/5 ভগ্নাংশে—

লব = 3
হর = 5

অর্থাৎ কোনো সম্পূর্ণ বস্তুকে 5টি সমান ভাগে ভাগ করে তার 3টি অংশ নেওয়া হয়েছে।

---

২. ভগ্নাংশের প্রকারভেদ

ক. প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)

যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

2/5, 3/7, 11/15

এখানে—

2 < 5, 3 < 7, 11 < 15

তাই এগুলো প্রকৃত ভগ্নাংশ।

মনে রাখুন: ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় 1-এর চেয়ে ছোট।

---

খ. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction)

যে ভগ্নাংশে লব হরের সমান বা বড় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

7/5, 9/9, 13/8

এখানে—

7 > 5
9 = 9
13 > 8

তাই এগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

---

গ. মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Fraction)

একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একসঙ্গে প্রকাশিত হলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

2 3/5, 4 1/7, 7 2/9

---

★★ ভগ্নাংশের রূপান্তর

৩. মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর

নিয়ম

পূর্ণাংশ × হর + লব = নতুন লব
হর অপরিবর্তিত থাকবে।

উদাহরণ–১

3 2/5-কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

3 2/5
= (3×5 + 2)/5
= (15 + 2)/5
= 17/5

∴ উত্তর: 17/5

---

৪. অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর

নিয়ম

লবকে হর দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ভাগফল = পূর্ণাংশ
ভাগশেষ = নতুন লব
ভাজক = হর

উদাহরণ–২

17/5-কে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

17 ÷ 5 = 3, ভাগশেষ 2

কারণ,

17 = 5×3 + 2

অতএব,

17/5 = 3 2/5

∴ উত্তর: 3 2/5

---

৫. সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর

লবকে হর দিয়ে ভাগ করলে দশমিক ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

উদাহরণ–৩

3/4
= 3 ÷ 4
= 0.75

∴ 3/4 = 0.75

আরও উদাহরণ—

1/2 = 0.5
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/8 = 0.125
1/3 = 0.3333...

---

৬. সসীম দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

দশমিকের পরে যতটি অঙ্ক থাকবে, হরে 1-এর পরে ততটি 0 বসবে। এরপর লব ও হরকে সাধারণ উৎপাদক দিয়ে ভাগ করে লঘিষ্ঠ আকারে আনতে হবে।

নোটে 12.345-কে একই নিয়মে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

উদাহরণ–৪

12.345-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

12.345
= 12345/1000
= 2469/200

এখন,

2469 ÷ 200 = 12, ভাগশেষ 69

তাই,

2469/200 = 12 69/200

∴ উত্তর: 2469/200 বা 12 69/200

---

৭. দশমিক স্থান অনুযায়ী হর নির্ণয়

উদাহরণ

0.7
= 7/10

0.25
= 25/100
= 1/4

0.125
= 125/1000
= 1/8

---

৮. আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক (Recurring Decimal)

যে অসীম দশমিক সংখ্যায় একটি বা একাধিক অঙ্ক একই ক্রমে বারবার পুনরাবৃত্ত হয় তাকে আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক বলে।

উদাহরণ:

0.3333...
0.272727...
0.16666...

সব আবৃত্ত দশমিকই মূলদ সংখ্যা, কারণ এগুলো সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।

---

৯. এক অঙ্ক সম্পূর্ণ আবৃত্ত হলে

উদাহরণ–৫

0.3333...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.3333... ...(1)

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে গুণ করলে,

10x = 3.3333... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

10x − x = 3.3333... − 0.3333...

⇒ 9x = 3

⇒ x = 3/9

⇒ x = 1/3

∴ 0.3333... = 1/3

---

১০. দুই অঙ্ক সম্পূর্ণ আবৃত্ত হলে

উদাহরণ–৬

0.474747...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.474747... ...(1)

উভয় পক্ষকে 100 দিয়ে গুণ করলে,

100x = 47.474747... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

100x − x = 47.474747... − 0.474747...

⇒ 99x = 47

⇒ x = 47/99

∴ উত্তর: 47/99

---

১১. আবৃত্ত দশমিকের সহজ নিয়ম

1টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 9
2টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 99
3টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 999

উদাহরণ:

0.7777... = 7/9

0.272727...
= 27/99
= 3/11

0.456456456...
= 456/999
= 152/333

---

১২. মিশ্র আবৃত্ত দশমিক

যে দশমিক সংখ্যায় প্রথমে কিছু অনাবৃত্ত অঙ্ক থাকে এবং তার পরে এক বা একাধিক অঙ্ক বারবার আবৃত্ত হয় তাকে মিশ্র আবৃত্ত দশমিক বলে।

নোটে 12.3-এর পরে 45 আবৃত্ত এমন একটি সংখ্যা সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

উদাহরণ–৭

12.3454545...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

এখানে 3 অনাবৃত্ত এবং 45 আবৃত্ত।

সমাধান:

ধরি,

x = 12.3454545...

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে গুণ করলে,

10x = 123.454545... ...(1)

আবার উভয় পক্ষকে 1000 দিয়ে গুণ করলে,

1000x = 12345.454545... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

1000x − 10x = 12345.454545... − 123.454545...

⇒ 990x = 12222

⇒ x = 12222/990

⇒ x = 679/55

এখন,

679 ÷ 55 = 12, ভাগশেষ 19

তাই,

679/55 = 12 19/55

∴ উত্তর: 679/55 বা 12 19/55

---

১৩. মিশ্র আবৃত্ত দশমিকের Shortcut

নিয়ম

লব = সম্পূর্ণ সংখ্যা − অনাবৃত্ত অংশ পর্যন্ত সংখ্যা

হর গঠনের নিয়ম—

আবৃত্ত অঙ্ক যতটি → ততটি 9
অনাবৃত্ত অঙ্ক যতটি → তার পরে ততটি 0

উদাহরণ

12.3454545...

সম্পূর্ণ অংশ ধরে সংখ্যা = 12345
অনাবৃত্ত অংশ পর্যন্ত সংখ্যা = 123

এখানে—

আবৃত্ত অঙ্ক = 2টি → 99
অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক = 1টি → 0

তাই হর = 990

অতএব,

(12345 − 123)/990
= 12222/990
= 679/55

---

🎯 ৩২তম BCS

0.47777...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.47777... ...(1)

10x = 4.7777... ...(2)

100x = 47.7777... ...(3)

এখন (3) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই,

100x − 10x = 47.7777... − 4.7777...

⇒ 90x = 43

⇒ x = 43/90

∴ উত্তর: 43/90

---

🎯 ৩৪তম BCS

কোনো সংখ্যার 0.1111... ভাগ এবং 0.1 ভাগের পার্থক্য 1 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

0.1111... = 1/9

এবং,

0.1 = 1/10

ধরি সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,

x/9 − x/10 = 1

⇒ (10x − 9x)/90 = 1

⇒ x/90 = 1

⇒ x = 90

∴ উত্তর: 90

---

🎯 ২৯তম BCS

1.16-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

1.16
= 116/100
= 29/25

এখন,

29 ÷ 25 = 1, ভাগশেষ 4

তাই,

29/25 = 1 4/25

∴ উত্তর: 1 4/25

---

★ লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ

১৪. লঘিষ্ঠ আকার (Lowest Form)

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত ভগ্নাংশ বলে।

অর্থাৎ,

লব ও হরের গ.সা.গু. = 1

হলে ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে থাকবে। নোটে 3/4-কে লঘিষ্ঠ ভগ্নাংশের উদাহরণ হিসেবে দেওয়া হয়েছে।

---

১৫. ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ

উদাহরণ–৮

14/56-কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর।

সমাধান:

14 = 2×7

56 = 2×2×2×7

তাই,

14/56
= (2×7)/(2×2×2×7)

সাধারণ উৎপাদক 2 ও 7 বাদ দিলে,

= 1/(2×2)

= 1/4

∴ উত্তর: 1/4

নোটেও 14/56-কে একইভাবে 1/4 করা হয়েছে।

---

১৬. গ.সা.গু. ব্যবহার করে লঘিষ্ঠ আকার

14 ও 56-এর গ.সা.গু. = 14

তাই,

14/56
= (14÷14)/(56÷14)

= 1/4

∴ উত্তর: 1/4

Shortcut

ভগ্নাংশ = a/b
গ.সা.গু.(a,b) = d হলে—

লঘিষ্ঠ ভগ্নাংশ = (a÷d)/(b÷d)

---

১৭. সমতুল ভগ্নাংশ (Equivalent Fraction)

যেসব ভগ্নাংশ দেখতে ভিন্ন হলেও একই মান প্রকাশ করে তাদের সমতুল ভগ্নাংশ বলে।

যেমন—

3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16

কারণ,

3/4
= (3×2)/(4×2)
= 6/8

আবার,

3/4
= (3×3)/(4×3)
= 9/12

আবার,

3/4
= (3×4)/(4×4)
= 12/16

নোটেও 3/4-এর এই সমতুল ভগ্নাংশগুলো দেখানো হয়েছে।

---

১৮. সমতুল ভগ্নাংশের মূলনীতি

লব ও হরকে একই non-zero সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয় না।

যেমন—

2/3

লব ও হরকে 5 দিয়ে গুণ করলে,

(2×5)/(3×5) = 10/15

তাই,

2/3 = 10/15

---

১৯. দুটি ভগ্নাংশ সমতুল কি না—Cross Multiplication

ধরি দুটি ভগ্নাংশ—

a/b এবং c/d

এরা সমতুল হলে—

a×d = b×c

উদাহরণ–৯

12/57 এবং 4/19 সমতুল কি না নির্ণয় কর।

সমাধান:

12×19 = 228

এবং,

57×4 = 228

যেহেতু,

12×19 = 57×4

তাই,

12/57 = 4/19

∴ ভগ্নাংশ দুটি সমতুল।

---

🎯 ২৪তম BCS

কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

বিকল্পগুলোর মধ্যে—

77/143, 102/289, 113/355, 343/1001

এখন,

77 = 7×11
143 = 11×13

তাই 77/143 লঘিষ্ঠ নয়।

আবার,

102 = 6×17
289 = 17×17

তাই 102/289 লঘিষ্ঠ নয়।

113 এবং 355-এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

অতএব,

গ.সা.গু.(113,355) = 1

∴ উত্তর: 113/355

---

★★★ ভগ্নাংশের তুলনা

নোটে ভগ্নাংশের তুলনার তিনটি মূল পদ্ধতি আলাদাভাবে দেখানো হয়েছে—ভিন্ন লব-হরে cross multiplication, একই হরে লব তুলনা এবং একই লবে হর তুলনা।

---

২০. একই হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের তুলনা

যদি দুটি ভগ্নাংশের হর একই হয়, তবে যার লব বড় তার মান বড়।

উদাহরণ

7/11 এবং 5/11

এখানে হর একই = 11

যেহেতু,

7 > 5

তাই,

7/11 > 5/11

∴ 7/11 বড়।

---

২১. একই লববিশিষ্ট ভগ্নাংশের তুলনা

যদি দুটি ভগ্নাংশের লব একই হয়, তবে যার হর ছোট তার মান বড়।

এই নিয়মটি নোটেও আলাদাভাবে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ

5/7, 5/9 এবং 5/11

এখানে লব একই = 5

হরগুলোর মধ্যে—

7 < 9 < 11

তাই,

5/7 > 5/9 > 5/11

কেন?

একটি কেক 7 ভাগ করলে প্রতিটি অংশ 11 ভাগ করার তুলনায় বড় হবে। তাই একই সংখ্যক অংশ নেওয়া হলে কম হরের ভগ্নাংশ বড় হয়।

---

২২. ভিন্ন লব ও ভিন্ন হর হলে Cross Multiplication

ধরি,

a/b এবং c/d

প্রথম ভগ্নাংশের লব × দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর = a×d

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব × প্রথম ভগ্নাংশের হর = c×b

যদি,

a×d > c×b

তবে,

a/b > c/d

আর যদি,

a×d < c×b

তবে,

a/b < c/d

---

২৩. Cross Multiplication-এর উদাহরণ

5/8 এবং 7/12-এর মধ্যে বড় কোনটি?

সমাধান:

5×12 = 60

7×8 = 56

যেহেতু,

60 > 56

তাই,

5/8 > 7/12

∴ উত্তর: 5/8

---

🎯 ৪৬তম BCS

নিচের কোন ভগ্নাংশটি 2/3-এর চেয়ে বড়?

বিকল্প—

33/50, 8/11, 3/5, 13/27

8/11-এর সঙ্গে 2/3 তুলনা করি।

8×3 = 24

2×11 = 22

যেহেতু,

24 > 22

তাই,

8/11 > 2/3

∴ উত্তর: 8/11

---

🎯 ৪১তম BCS

5/12, 6/13, 11/24 এবং 3/8-এর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

প্রথমে সম্ভাব্য বড় দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করি—

6/13 এবং 11/24

Cross multiplication:

6×24 = 144

11×13 = 143

যেহেতু,

144 > 143

তাই,

6/13 > 11/24

এখন 6/13 ও 5/12 তুলনা করি—

6×12 = 72

5×13 = 65

যেহেতু,

72 > 65

তাই,

6/13 > 5/12

এবং,

6/13 > 3/8

অতএব,

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = 6/13

---

🎯 ৩৯তম BCS

6/11, 8/14, 3/5 এবং 5/8-এর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

প্রথমে,

8/14 = 4/7

এখন প্রধান দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করি—

5/8 এবং 3/5

5×5 = 25

3×8 = 24

যেহেতু,

25 > 24

তাই,

5/8 > 3/5

অন্য দুটি এর চেয়ে ছোট।

∴ উত্তর: 5/8

---

🎯 ৩২তম BCS

5/6, 12/15, 11/14 এবং 17/21-এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোনটি?

প্রথমে,

12/15 = 4/5

এখন 11/14 ও 4/5 তুলনা করি—

11×5 = 55

4×14 = 56

যেহেতু,

55 < 56

তাই,

11/14 < 4/5

আবার অন্য ভগ্নাংশগুলোর সঙ্গেও তুলনা করলে 11/14 ছোট পাওয়া যায়।

∴ উত্তর: 11/14

---

🎯 ৩১তম BCS

2/11, 3/11, 2/13 এবং 4/15-এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট কোনটি?

2/11 এবং 2/13-এর লব একই।

হরের মধ্যে—

13 > 11

একই লবে বড় হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ ছোট।

তাই,

2/13 < 2/11

আবার 3/11 এবং 4/15 উভয়ই 2/13-এর চেয়ে বড়।

∴ উত্তর: 2/13

---

🎯 ৪৫তম BCS

7, 8, 0.33 এবং 0.31-এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা কোনটি?

তুলনা করলে—

0.31 < 0.33 < 7 < 8

∴ উত্তর: 0.31

---

২৪. LCM পদ্ধতিতে ভগ্নাংশের তুলনা

অনেকগুলো ভগ্নাংশ একসঙ্গে তুলনা করতে হরগুলোর ল.সা.গু. নিয়ে সব ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট করা যায়।

উদাহরণ

2/3, 3/4 এবং 5/6 তুলনা কর।

হরগুলো = 3, 4, 6

ল.সা.গু. = 12

তাই,

2/3
= (2×4)/(3×4)
= 8/12

3/4
= (3×3)/(4×3)
= 9/12

5/6
= (5×2)/(6×2)
= 10/12

এখন,

8/12 < 9/12 < 10/12

তাই,

∴ 2/3 < 3/4 < 5/6

---

২৫. 1/2-এর সঙ্গে দ্রুত তুলনা

কোনো ধনাত্মক ভগ্নাংশ a/b-এর ক্ষেত্রে—

যদি 2a > b হয়, তবে a/b > 1/2

যদি 2a < b হয়, তবে a/b < 1/2

উদাহরণ

7/15 কি 1/2-এর চেয়ে বড়?

2×7 = 14

এবং,

14 < 15

তাই,

7/15 < 1/2

∴ 7/15 ছোট।

---

২৬. 1-এর সঙ্গে ভগ্নাংশের তুলনা

ধনাত্মক ভগ্নাংশ a/b-এর ক্ষেত্রে—

যদি a < b → a/b < 1
যদি a = b → a/b = 1
যদি a > b → a/b > 1

উদাহরণ

7/9 < 1
9/9 = 1
11/9 > 1

---

২৭. 1-এর কাছাকাছি ভগ্নাংশ তুলনার Shortcut

98/99, 97/98 এবং 96/97-এর মধ্যে বৃহত্তম নির্ণয় কর।

লিখি—

98/99 = 1 − 1/99

97/98 = 1 − 1/98

96/97 = 1 − 1/97

এখন,

1/99 < 1/98 < 1/97

অতএব 1 থেকে সবচেয়ে কম বিয়োগ হচ্ছে 98/99-এর ক্ষেত্রে।

তাই,

98/99 > 97/98 > 96/97

∴ বৃহত্তম = 98/99

---

২৮. ভগ্নাংশ ও দশমিক একই সঙ্গে তুলনা

সবগুলো সংখ্যাকে একই ধরনের রূপে আনলে তুলনা সহজ হয়।

উদাহরণ

0.3, 1/3, 0.31 এবং 2/5 তুলনা কর।

আমরা জানি—

1/3 = 0.3333...

2/5 = 0.4

তাই,

0.3 < 0.31 < 0.3333... < 0.4

অতএব,

0.3 < 0.31 < 1/3 < 2/5

---

২৯. দুটি ভগ্নাংশের মাঝখানে একটি ভগ্নাংশ

দুটি ভগ্নাংশের গড় নিলে সাধারণত তাদের মাঝখানে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়।

উদাহরণ

1/3 এবং 1/2-এর মাঝখানে একটি ভগ্নাংশ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(1/3 + 1/2) ÷ 2

প্রথমে,

1/3 + 1/2
= (2 + 3)/6
= 5/6

এখন,

5/6 ÷ 2
= 5/6 × 1/2
= 5/12

তাই,

1/3 < 5/12 < 1/2

∴ উত্তর: 5/12

---

৩০. ভগ্নাংশের যোগ

একই হর হলে

a/b + c/b = (a+c)/b

উদাহরণ

3/7 + 2/7
= (3+2)/7
= 5/7

∴ উত্তর: 5/7

---

ভিন্ন হর হলে

উদাহরণ

1/2 + 1/3

হর 2 ও 3-এর ল.সা.গু. = 6

তাই,

1/2 = 3/6

এবং,

1/3 = 2/6

অতএব,

1/2 + 1/3
= 3/6 + 2/6
= 5/6

∴ উত্তর: 5/6

---

৩১. ভগ্নাংশের বিয়োগ

উদাহরণ

3/4 − 1/6

হর 4 ও 6-এর ল.সা.গু. = 12

তাই,

3/4 = 9/12

1/6 = 2/12

অতএব,

3/4 − 1/6
= 9/12 − 2/12
= 7/12

∴ উত্তর: 7/12

---

৩২. ভগ্নাংশের গুণ

ভগ্নাংশের গুণে লবের সঙ্গে লব এবং হরের সঙ্গে হর গুণ করতে হয়।

উদাহরণ

2/3 × 4/5

= (2×4)/(3×5)

= 8/15

∴ উত্তর: 8/15

Cancellation পদ্ধতি

6/7 × 14/15

এখানে 14 ও 7 দ্বারা 7 কাটলে—

14 ÷ 7 = 2
7 ÷ 7 = 1

আবার 6 ও 15-কে 3 দিয়ে ভাগ করলে—

6 ÷ 3 = 2
15 ÷ 3 = 5

তাই,

6/7 × 14/15
= 2×2 / 1×5
= 4/5

∴ উত্তর: 4/5

---

৩৩. ভগ্নাংশের ভাগ

একটি ভগ্নাংশকে অন্য ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করতে হলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির বিপরীত ভগ্নাংশ নিয়ে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ

2/3 ÷ 4/5

= 2/3 × 5/4

= 10/12

= 5/6

∴ উত্তর: 5/6

---

৩৪. বিপরীত ভগ্নাংশ (Reciprocal)

কোনো ভগ্নাংশ a/b-এর বিপরীত ভগ্নাংশ হলো b/a, যেখানে a ≠ 0।

উদাহরণ—

3/5-এর বিপরীত = 5/3

কারণ,

3/5 × 5/3
= 15/15
= 1

---

🚨 BCS CONFUSION ZONE

---

⚡ Shortcut Zone

১. একই হর: শুধু লব দেখো।
উদাহরণ: 7/13 > 5/13

২. একই লব: ছোট হর বড়।
উদাহরণ: 5/7 > 5/9

৩. ভিন্ন লব-হর: Cross multiplication।
উদাহরণ: 4/7 এবং 5/9 → 4×9 = 36, 5×7 = 35 → 4/7 বড়।

৪. 1/2-এর সঙ্গে তুলনা: 2×লব বনাম হর।

৫. 1-এর কাছাকাছি ভগ্নাংশ: হর−লব difference দেখো।

৬. Decimal recurring: recurring digit যতটি, pure recurring হলে ততটি 9।

---

📌 গুরুত্বপূর্ণ মান মুখস্থ রাখুন

1/2 = 0.5
1/3 = 0.3333...
2/3 = 0.6666...
1/4 = 0.25
3/4 = 0.75
1/5 = 0.2
2/5 = 0.4
3/5 = 0.6
4/5 = 0.8
1/8 = 0.125
3/8 = 0.375
5/8 = 0.625
7/8 = 0.875

---

📐 Formula Sheet — TinyMCE Safe

Mixed → Improper:
a b/c = (a×c+b)/c

Equivalent Fraction:
a/b = (a×k)/(b×k), k ≠ 0

Equality Test:
a/b = c/d হলে a×d = b×c

Comparison:
a/b > c/d হলে a×d > b×c

Addition:
a/b + c/d = (a×d + b×c)/(b×d)

Subtraction:
a/b − c/d = (a×d − b×c)/(b×d)

Multiplication:
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

Division:
a/b ÷ c/d = a/b × d/c

---

🧠 মনে রাখুন

❖ ভগ্নাংশের হর কখনো 0 হতে পারে না।
❖ প্রকৃত ভগ্নাংশের মান 1-এর কম।
❖ Mixed → Improper করতে পূর্ণাংশ×হর+লব করতে হবে।
❖ সসীম decimal-এ দশমিকের ঘর অনুযায়ী হরে 10, 100, 1000... বসে।
❖ Pure recurring decimal-এ recurring digit যতটি, denominator-এ ততটি 9।
❖ Mixed recurring-এ recurring digit-এর জন্য 9 এবং non-recurring digit-এর জন্য 0।
❖ Lowest form-এ লব ও হরের GCD = 1।
❖ Equivalent fraction-এ numerator ও denominator একই non-zero সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করতে হয়।
❖ একই হর → বড় লব বড়।
❖ একই লব → ছোট হর বড়।
❖ ভিন্ন লব-হর → Cross multiplication সবচেয়ে নিরাপদ।