ভগ্নাংশ অধ্যায়ে মূলত তিনটি অংশ গুরুত্বপূর্ণ—ভগ্নাংশের রূপান্তর, লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ এবং ভগ্নাংশের তুলনা। প্রদত্ত প্রশ্নবিশ্লেষণ অনুযায়ী ভগ্নাংশের রূপান্তর থেকে ৩৪তম, ৩২তম ও ২৯তম BCS; লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ থেকে ২৪তম BCS; আর ভগ্নাংশের তুলনা থেকে ৪৬তম, ৪৫তম, ৪১তম, ৩৯তম, ৩২তম, ৩১তম, ৩০তমসহ একাধিক BCS-এ প্রশ্ন এসেছে।

১. ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number)

যে মূলদ সংখ্যা পূর্ণ বা অখণ্ড নয় তাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। ভগ্নাংশ সাধারণত a/b আকারে লেখা হয়, যেখানে—

a = লব (Numerator)
b = হর (Denominator)
এবং b ≠ 0

উদাহরণ: 3/5, 7/8, 11/4 ইত্যাদি। নোটেও ভগ্নাংশকে লব ও হরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে।

উদাহরণ

3/5 ভগ্নাংশে—

লব = 3
হর = 5

অর্থাৎ কোনো সম্পূর্ণ বস্তুকে 5টি সমান ভাগে ভাগ করে তার 3টি অংশ নেওয়া হয়েছে।

২. ভগ্নাংশের প্রকারভেদ

ক. প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)

যে ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

2/5, 3/7, 11/15

এখানে—

2 < 5, 3 < 7, 11 < 15

তাই এগুলো প্রকৃত ভগ্নাংশ।

মনে রাখুন: ধনাত্মক প্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় 1-এর চেয়ে ছোট।

খ. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction)

যে ভগ্নাংশে লব হরের সমান বা বড় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

7/5, 9/9, 13/8

এখানে—

7 > 5
9 = 9
13 > 8

তাই এগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

গ. মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Fraction)

একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ একসঙ্গে প্রকাশিত হলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।

উদাহরণ:

2 3/5, 4 1/7, 7 2/9

★★ ভগ্নাংশের রূপান্তর

৩. মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর

নিয়ম

পূর্ণাংশ × হর + লব = নতুন লব
হর অপরিবর্তিত থাকবে।

উদাহরণ–১

3 2/5-কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

3 2/5
= (3×5 + 2)/5
= (15 + 2)/5
= 17/5

∴ উত্তর: 17/5

৪. অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর

নিয়ম

লবকে হর দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ভাগফল = পূর্ণাংশ
ভাগশেষ = নতুন লব
ভাজক = হর

উদাহরণ–২

17/5-কে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

17 ÷ 5 = 3, ভাগশেষ 2

কারণ,

17 = 5×3 + 2

অতএব,

17/5 = 3 2/5

∴ উত্তর: 3 2/5

৫. সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর

লবকে হর দিয়ে ভাগ করলে দশমিক ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।

উদাহরণ–৩

3/4
= 3 ÷ 4
= 0.75

∴ 3/4 = 0.75

আরও উদাহরণ—

1/2 = 0.5
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/8 = 0.125
1/3 = 0.3333...

৬. সসীম দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

দশমিকের পরে যতটি অঙ্ক থাকবে, হরে 1-এর পরে ততটি 0 বসবে। এরপর লব ও হরকে সাধারণ উৎপাদক দিয়ে ভাগ করে লঘিষ্ঠ আকারে আনতে হবে।

নোটে 12.345-কে একই নিয়মে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

উদাহরণ–৪

12.345-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

12.345
= 12345/1000
= 2469/200

এখন,

2469 ÷ 200 = 12, ভাগশেষ 69

তাই,

2469/200 = 12 69/200

∴ উত্তর: 2469/200 বা 12 69/200

৭. দশমিক স্থান অনুযায়ী হর নির্ণয়

উদাহরণ

0.7
= 7/10

0.25
= 25/100
= 1/4

0.125
= 125/1000
= 1/8

৮. আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক (Recurring Decimal)

যে অসীম দশমিক সংখ্যায় একটি বা একাধিক অঙ্ক একই ক্রমে বারবার পুনরাবৃত্ত হয় তাকে আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক বলে।

উদাহরণ:

0.3333...
0.272727...
0.16666...

সব আবৃত্ত দশমিকই মূলদ সংখ্যা, কারণ এগুলো সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।

৯. এক অঙ্ক সম্পূর্ণ আবৃত্ত হলে

উদাহরণ–৫

0.3333...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.3333... ...(1)

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে গুণ করলে,

10x = 3.3333... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

10x − x = 3.3333... − 0.3333...

⇒ 9x = 3

⇒ x = 3/9

⇒ x = 1/3

∴ 0.3333... = 1/3

১০. দুই অঙ্ক সম্পূর্ণ আবৃত্ত হলে

উদাহরণ–৬

0.474747...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.474747... ...(1)

উভয় পক্ষকে 100 দিয়ে গুণ করলে,

100x = 47.474747... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

100x − x = 47.474747... − 0.474747...

⇒ 99x = 47

⇒ x = 47/99

∴ উত্তর: 47/99

১১. আবৃত্ত দশমিকের সহজ নিয়ম

1টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 9
2টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 99
3টি অঙ্ক আবৃত্ত হলে → হর 999

উদাহরণ:

0.7777... = 7/9

0.272727...
= 27/99
= 3/11

0.456456456...
= 456/999
= 152/333

১২. মিশ্র আবৃত্ত দশমিক

যে দশমিক সংখ্যায় প্রথমে কিছু অনাবৃত্ত অঙ্ক থাকে এবং তার পরে এক বা একাধিক অঙ্ক বারবার আবৃত্ত হয় তাকে মিশ্র আবৃত্ত দশমিক বলে।

নোটে 12.3-এর পরে 45 আবৃত্ত এমন একটি সংখ্যা সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

উদাহরণ–৭

12.3454545...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

এখানে 3 অনাবৃত্ত এবং 45 আবৃত্ত।

সমাধান:

ধরি,

x = 12.3454545...

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে গুণ করলে,

10x = 123.454545... ...(1)

আবার উভয় পক্ষকে 1000 দিয়ে গুণ করলে,

1000x = 12345.454545... ...(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

1000x − 10x = 12345.454545... − 123.454545...

⇒ 990x = 12222

⇒ x = 12222/990

⇒ x = 679/55

এখন,

679 ÷ 55 = 12, ভাগশেষ 19

তাই,

679/55 = 12 19/55

∴ উত্তর: 679/55 বা 12 19/55

১৩. মিশ্র আবৃত্ত দশমিকের Shortcut

নিয়ম

লব = সম্পূর্ণ সংখ্যা − অনাবৃত্ত অংশ পর্যন্ত সংখ্যা

হর গঠনের নিয়ম—

আবৃত্ত অঙ্ক যতটি → ততটি 9
অনাবৃত্ত অঙ্ক যতটি → তার পরে ততটি 0

উদাহরণ

12.3454545...

সম্পূর্ণ অংশ ধরে সংখ্যা = 12345
অনাবৃত্ত অংশ পর্যন্ত সংখ্যা = 123

এখানে—

আবৃত্ত অঙ্ক = 2টি → 99
অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক = 1টি → 0

তাই হর = 990

অতএব,

(12345 − 123)/990
= 12222/990
= 679/55

🎯 ৩২তম BCS

0.47777...-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

ধরি,

x = 0.47777... ...(1)

10x = 4.7777... ...(2)

100x = 47.7777... ...(3)

এখন (3) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই,

100x − 10x = 47.7777... − 4.7777...

⇒ 90x = 43

⇒ x = 43/90

∴ উত্তর: 43/90

🎯 ৩৪তম BCS

কোনো সংখ্যার 0.1111... ভাগ এবং 0.1 ভাগের পার্থক্য 1 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

0.1111... = 1/9

এবং,

0.1 = 1/10

ধরি সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,

x/9 − x/10 = 1

⇒ (10x − 9x)/90 = 1

⇒ x/90 = 1

⇒ x = 90

∴ উত্তর: 90

🎯 ২৯তম BCS

1.16-কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধান:

1.16
= 116/100
= 29/25

এখন,

29 ÷ 25 = 1, ভাগশেষ 4

তাই,

29/25 = 1 4/25

∴ উত্তর: 1 4/25

★ লঘিষ্ঠ আকার ও সমতুল ভগ্নাংশ

১৪. লঘিষ্ঠ আকার (Lowest Form)

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক না থাকলে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত ভগ্নাংশ বলে।

অর্থাৎ,

লব ও হরের গ.সা.গু. = 1

হলে ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে থাকবে। নোটে 3/4-কে লঘিষ্ঠ ভগ্নাংশের উদাহরণ হিসেবে দেওয়া হয়েছে।

১৫. ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ

উদাহরণ–৮

14/56-কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর।

সমাধান:

14 = 2×7

56 = 2×2×2×7

তাই,

14/56
= (2×7)/(2×2×2×7)

সাধারণ উৎপাদক 2 ও 7 বাদ দিলে,

= 1/(2×2)

= 1/4

∴ উত্তর: 1/4

নোটেও 14/56-কে একইভাবে 1/4 করা হয়েছে।

১৬. গ.সা.গু. ব্যবহার করে লঘিষ্ঠ আকার

14 ও 56-এর গ.সা.গু. = 14

তাই,

14/56
= (14÷14)/(56÷14)

= 1/4

∴ উত্তর: 1/4

Shortcut

ভগ্নাংশ = a/b
গ.সা.গু.(a,b) = d হলে—

লঘিষ্ঠ ভগ্নাংশ = (a÷d)/(b÷d)

১৭. সমতুল ভগ্নাংশ (Equivalent Fraction)

যেসব ভগ্নাংশ দেখতে ভিন্ন হলেও একই মান প্রকাশ করে তাদের সমতুল ভগ্নাংশ বলে।

যেমন—

3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16

কারণ,

3/4
= (3×2)/(4×2)
= 6/8

আবার,

3/4
= (3×3)/(4×3)
= 9/12

আবার,

3/4
= (3×4)/(4×4)
= 12/16

নোটেও 3/4-এর এই সমতুল ভগ্নাংশগুলো দেখানো হয়েছে।

১৮. সমতুল ভগ্নাংশের মূলনীতি

লব ও হরকে একই non-zero সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মান পরিবর্তিত হয় না।

যেমন—

2/3

লব ও হরকে 5 দিয়ে গুণ করলে,

(2×5)/(3×5) = 10/15

তাই,

2/3 = 10/15

১৯. দুটি ভগ্নাংশ সমতুল কি না—Cross Multiplication

ধরি দুটি ভগ্নাংশ—

a/b এবং c/d

এরা সমতুল হলে—

a×d = b×c

উদাহরণ–৯

12/57 এবং 4/19 সমতুল কি না নির্ণয় কর।

সমাধান:

12×19 = 228

এবং,

57×4 = 228

যেহেতু,

12×19 = 57×4

তাই,

12/57 = 4/19

∴ ভগ্নাংশ দুটি সমতুল।

🎯 ২৪তম BCS

কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

বিকল্পগুলোর মধ্যে—

77/143, 102/289, 113/355, 343/1001

এখন,

77 = 7×11
143 = 11×13

তাই 77/143 লঘিষ্ঠ নয়।

আবার,

102 = 6×17
289 = 17×17

তাই 102/289 লঘিষ্ঠ নয়।

113 এবং 355-এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

অতএব,

গ.সা.গু.(113,355) = 1

∴ উত্তর: 113/355

★★★ ভগ্নাংশের তুলনা

নোটে ভগ্নাংশের তুলনার তিনটি মূল পদ্ধতি আলাদাভাবে দেখানো হয়েছে—ভিন্ন লব-হরে cross multiplication, একই হরে লব তুলনা এবং একই লবে হর তুলনা।

২০. একই হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশের তুলনা

যদি দুটি ভগ্নাংশের হর একই হয়, তবে যার লব বড় তার মান বড়।

উদাহরণ

7/11 এবং 5/11

এখানে হর একই = 11

যেহেতু,

7 > 5

তাই,

7/11 > 5/11

∴ 7/11 বড়।

২১. একই লববিশিষ্ট ভগ্নাংশের তুলনা

যদি দুটি ভগ্নাংশের লব একই হয়, তবে যার হর ছোট তার মান বড়।

এই নিয়মটি নোটেও আলাদাভাবে দেখানো হয়েছে।

উদাহরণ

5/7, 5/9 এবং 5/11

এখানে লব একই = 5

হরগুলোর মধ্যে—

7 < 9 < 11

তাই,

5/7 > 5/9 > 5/11

কেন?

একটি কেক 7 ভাগ করলে প্রতিটি অংশ 11 ভাগ করার তুলনায় বড় হবে। তাই একই সংখ্যক অংশ নেওয়া হলে কম হরের ভগ্নাংশ বড় হয়।

২২. ভিন্ন লব ও ভিন্ন হর হলে Cross Multiplication

ধরি,

a/b এবং c/d

প্রথম ভগ্নাংশের লব × দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর = a×d

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব × প্রথম ভগ্নাংশের হর = c×b

যদি,

a×d > c×b

তবে,

a/b > c/d

আর যদি,

a×d < c×b

তবে,

a/b < c/d

২৩. Cross Multiplication-এর উদাহরণ

5/8 এবং 7/12-এর মধ্যে বড় কোনটি?

সমাধান:

5×12 = 60

7×8 = 56

যেহেতু,

60 > 56

তাই,

5/8 > 7/12

∴ উত্তর: 5/8

🎯 ৪৬তম BCS

নিচের কোন ভগ্নাংশটি 2/3-এর চেয়ে বড়?

বিকল্প—

33/50, 8/11, 3/5, 13/27

8/11-এর সঙ্গে 2/3 তুলনা করি।

8×3 = 24

2×11 = 22

যেহেতু,

24 > 22

তাই,

8/11 > 2/3

∴ উত্তর: 8/11

🎯 ৪১তম BCS

5/12, 6/13, 11/24 এবং 3/8-এর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

প্রথমে সম্ভাব্য বড় দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করি—

6/13 এবং 11/24

Cross multiplication:

6×24 = 144

11×13 = 143

যেহেতু,

144 > 143

তাই,

6/13 > 11/24

এখন 6/13 ও 5/12 তুলনা করি—

6×12 = 72

5×13 = 65

যেহেতু,

72 > 65

তাই,

6/13 > 5/12

এবং,

6/13 > 3/8

অতএব,

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = 6/13

🎯 ৩৯তম BCS

6/11, 8/14, 3/5 এবং 5/8-এর মধ্যে বৃহত্তম কোনটি?

প্রথমে,

8/14 = 4/7

এখন প্রধান দুটি ভগ্নাংশ তুলনা করি—

5/8 এবং 3/5

5×5 = 25

3×8 = 24

যেহেতু,

25 > 24

তাই,

5/8 > 3/5

অন্য দুটি এর চেয়ে ছোট।

∴ উত্তর: 5/8

🎯 ৩২তম BCS

5/6, 12/15, 11/14 এবং 17/21-এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোনটি?

প্রথমে,

12/15 = 4/5

এখন 11/14 ও 4/5 তুলনা করি—

11×5 = 55

4×14 = 56

যেহেতু,

55 < 56

তাই,

11/14 < 4/5

আবার অন্য ভগ্নাংশগুলোর সঙ্গেও তুলনা করলে 11/14 ছোট পাওয়া যায়।

∴ উত্তর: 11/14

🎯 ৩১তম BCS

2/11, 3/11, 2/13 এবং 4/15-এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট কোনটি?

2/11 এবং 2/13-এর লব একই।

হরের মধ্যে—

13 > 11

একই লবে বড় হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ ছোট।

তাই,

2/13 < 2/11

আবার 3/11 এবং 4/15 উভয়ই 2/13-এর চেয়ে বড়।

∴ উত্তর: 2/13

🎯 ৪৫তম BCS

7, 8, 0.33 এবং 0.31-এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা কোনটি?

তুলনা করলে—

0.31 < 0.33 < 7 < 8

∴ উত্তর: 0.31

২৪. LCM পদ্ধতিতে ভগ্নাংশের তুলনা

অনেকগুলো ভগ্নাংশ একসঙ্গে তুলনা করতে হরগুলোর ল.সা.গু. নিয়ে সব ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট করা যায়।

উদাহরণ

2/3, 3/4 এবং 5/6 তুলনা কর।

হরগুলো = 3, 4, 6

ল.সা.গু. = 12

তাই,

2/3
= (2×4)/(3×4)
= 8/12

3/4
= (3×3)/(4×3)
= 9/12

5/6
= (5×2)/(6×2)
= 10/12

এখন,

8/12 < 9/12 < 10/12

তাই,

∴ 2/3 < 3/4 < 5/6

২৫. 1/2-এর সঙ্গে দ্রুত তুলনা

কোনো ধনাত্মক ভগ্নাংশ a/b-এর ক্ষেত্রে—

যদি 2a > b হয়, তবে a/b > 1/2

যদি 2a < b হয়, তবে a/b < 1/2

উদাহরণ

7/15 কি 1/2-এর চেয়ে বড়?

2×7 = 14

এবং,

14 < 15

তাই,

7/15 < 1/2

∴ 7/15 ছোট।

২৬. 1-এর সঙ্গে ভগ্নাংশের তুলনা

ধনাত্মক ভগ্নাংশ a/b-এর ক্ষেত্রে—

যদি a < b → a/b < 1
যদি a = b → a/b = 1
যদি a > b → a/b > 1

উদাহরণ

7/9 < 1
9/9 = 1
11/9 > 1

২৭. 1-এর কাছাকাছি ভগ্নাংশ তুলনার Shortcut

98/99, 97/98 এবং 96/97-এর মধ্যে বৃহত্তম নির্ণয় কর।

লিখি—

98/99 = 1 − 1/99

97/98 = 1 − 1/98

96/97 = 1 − 1/97

এখন,

1/99 < 1/98 < 1/97

অতএব 1 থেকে সবচেয়ে কম বিয়োগ হচ্ছে 98/99-এর ক্ষেত্রে।

তাই,

98/99 > 97/98 > 96/97

∴ বৃহত্তম = 98/99

২৮. ভগ্নাংশ ও দশমিক একই সঙ্গে তুলনা

সবগুলো সংখ্যাকে একই ধরনের রূপে আনলে তুলনা সহজ হয়।

উদাহরণ

0.3, 1/3, 0.31 এবং 2/5 তুলনা কর।

আমরা জানি—

1/3 = 0.3333...

2/5 = 0.4

তাই,

0.3 < 0.31 < 0.3333... < 0.4

অতএব,

0.3 < 0.31 < 1/3 < 2/5

২৯. দুটি ভগ্নাংশের মাঝখানে একটি ভগ্নাংশ

দুটি ভগ্নাংশের গড় নিলে সাধারণত তাদের মাঝখানে একটি সংখ্যা পাওয়া যায়।

উদাহরণ

1/3 এবং 1/2-এর মাঝখানে একটি ভগ্নাংশ নির্ণয় কর।

সমাধান:

(1/3 + 1/2) ÷ 2

প্রথমে,

1/3 + 1/2
= (2 + 3)/6
= 5/6

এখন,

5/6 ÷ 2
= 5/6 × 1/2
= 5/12

তাই,

1/3 < 5/12 < 1/2

∴ উত্তর: 5/12

৩০. ভগ্নাংশের যোগ

একই হর হলে

a/b + c/b = (a+c)/b

উদাহরণ

3/7 + 2/7
= (3+2)/7
= 5/7

∴ উত্তর: 5/7

ভিন্ন হর হলে

উদাহরণ

1/2 + 1/3

হর 2 ও 3-এর ল.সা.গু. = 6

তাই,

1/2 = 3/6

এবং,

1/3 = 2/6

অতএব,

1/2 + 1/3
= 3/6 + 2/6
= 5/6

∴ উত্তর: 5/6

৩১. ভগ্নাংশের বিয়োগ

উদাহরণ

3/4 − 1/6

হর 4 ও 6-এর ল.সা.গু. = 12

তাই,

3/4 = 9/12

1/6 = 2/12

অতএব,

3/4 − 1/6
= 9/12 − 2/12
= 7/12

∴ উত্তর: 7/12

৩২. ভগ্নাংশের গুণ

ভগ্নাংশের গুণে লবের সঙ্গে লব এবং হরের সঙ্গে হর গুণ করতে হয়।

উদাহরণ

2/3 × 4/5

= (2×4)/(3×5)

= 8/15

∴ উত্তর: 8/15

Cancellation পদ্ধতি

6/7 × 14/15

এখানে 14 ও 7 দ্বারা 7 কাটলে—

14 ÷ 7 = 2
7 ÷ 7 = 1

আবার 6 ও 15-কে 3 দিয়ে ভাগ করলে—

6 ÷ 3 = 2
15 ÷ 3 = 5

তাই,

6/7 × 14/15
= 2×2 / 1×5
= 4/5

∴ উত্তর: 4/5

৩৩. ভগ্নাংশের ভাগ

একটি ভগ্নাংশকে অন্য ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করতে হলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির বিপরীত ভগ্নাংশ নিয়ে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ

2/3 ÷ 4/5

= 2/3 × 5/4

= 10/12

= 5/6

∴ উত্তর: 5/6

৩৪. বিপরীত ভগ্নাংশ (Reciprocal)

কোনো ভগ্নাংশ a/b-এর বিপরীত ভগ্নাংশ হলো b/a, যেখানে a ≠ 0।

উদাহরণ—

3/5-এর বিপরীত = 5/3

কারণ,

3/5 × 5/3
= 15/15
= 1

🚨 BCS CONFUSION ZONE

⚡ Shortcut Zone

১. একই হর: শুধু লব দেখো।
উদাহরণ: 7/13 > 5/13

২. একই লব: ছোট হর বড়।
উদাহরণ: 5/7 > 5/9

৩. ভিন্ন লব-হর: Cross multiplication।
উদাহরণ: 4/7 এবং 5/9 → 4×9 = 36, 5×7 = 35 → 4/7 বড়।

৪. 1/2-এর সঙ্গে তুলনা: 2×লব বনাম হর।

৫. 1-এর কাছাকাছি ভগ্নাংশ: হর−লব difference দেখো।

৬. Decimal recurring: recurring digit যতটি, pure recurring হলে ততটি 9।

📌 গুরুত্বপূর্ণ মান মুখস্থ রাখুন

1/2 = 0.5
1/3 = 0.3333...
2/3 = 0.6666...
1/4 = 0.25
3/4 = 0.75
1/5 = 0.2
2/5 = 0.4
3/5 = 0.6
4/5 = 0.8
1/8 = 0.125
3/8 = 0.375
5/8 = 0.625
7/8 = 0.875

📐 Formula Sheet — TinyMCE Safe

Mixed → Improper:
a b/c = (a×c+b)/c

Equivalent Fraction:
a/b = (a×k)/(b×k), k ≠ 0

Equality Test:
a/b = c/d হলে a×d = b×c

Comparison:
a/b > c/d হলে a×d > b×c

Addition:
a/b + c/d = (a×d + b×c)/(b×d)

Subtraction:
a/b − c/d = (a×d − b×c)/(b×d)

Multiplication:
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

Division:
a/b ÷ c/d = a/b × d/c

🧠 মনে রাখুন

❖ ভগ্নাংশের হর কখনো 0 হতে পারে না।
❖ প্রকৃত ভগ্নাংশের মান 1-এর কম।
❖ Mixed → Improper করতে পূর্ণাংশ×হর+লব করতে হবে।
❖ সসীম decimal-এ দশমিকের ঘর অনুযায়ী হরে 10, 100, 1000... বসে।
❖ Pure recurring decimal-এ recurring digit যতটি, denominator-এ ততটি 9।
❖ Mixed recurring-এ recurring digit-এর জন্য 9 এবং non-recurring digit-এর জন্য 0।
❖ Lowest form-এ লব ও হরের GCD = 1।
❖ Equivalent fraction-এ numerator ও denominator একই non-zero সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করতে হয়।
❖ একই হর → বড় লব বড়।
❖ একই লব → ছোট হর বড়।
❖ ভিন্ন লব-হর → Cross multiplication সবচেয়ে নিরাপদ।